设函数 $f(x) = 2x^{3} - 3(a - 1)x^{2} + 1$，其中 $a \geqslant 1$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 讨论 $f(x)$ 的极值.

已知椭圆的中心在坐标原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为 $4$.

(1) 求椭圆的方程； (2) 直线 $l$ 过点 $P(0,2)$ 且与椭圆相交于 $A$，$B$ 两点，当 $\triangle AOB$ 面积取得最大值时，求直线 $l$ 的方程.