设 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，$S_{4} = 14$，$S_{10} - S_{7} = 30$，则 $S_{9} =$______.

已知数列 $\{a_{n}\}$ 中，$a_{1} = \frac{1}{2}$，点 $(n, 2a_{n+1} - a_{n})$ 在直线 $y = x$ 上，其中 $n=1$，$2$，$3$，$\dots$.

(1) 令 $b_{n} = a_{n+1} - a_{n} - 1$，求证数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列； (2) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项； (3) 设 $S_{n}$，$T_{n}$ 分别为数列 $\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和. 是否存在实数 $\lambda$，使得数列 $\left\{\frac{S_{n} + \lambda T_{n}}{n}\right\}$ 为等差数列？若存在，试求出 $\lambda$；若不存在，则说明理由.