已知 $a = \frac{-3 - \mathrm{i}}{1 + 2\mathrm{i}}$（$\mathrm{i}$ 是虚数单位），那么 $a^{2} =$______.

设虚数 $z_{1}$，$z_{2}$ 满足 $z_{1}^{2}=z_{2}$.

(1) 若 $z_{1}$，$z_{2}$ 又是一个实系数一元二次方程的两个根，求 $z_{1}$，$z_{2}$； (2) 若 $z_{1}=1+m\mathrm{i}$（$\mathrm{i}$ 为虚数单位），$|z_{1}|\leqslant\sqrt{2}$，复数 $\omega=z_{2}+3$，求 $|\omega|$ 的取值范围.