如果函数 $f(x) = \frac{1}{2} (m - 2)x^2 + (n - 8)x + 1$ （$m \geqslant 0$，$n \geqslant 0$）在区间 $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ 上单调递减，那么 $mn$ 的最大值为（ ）

\begin{solution} 函数导数为 $f'(x)=(m-2)x+n-8$. 要使函数在 $\left[\frac12,2\right]$ 上单调递减，需要 $f'(x)\leqslant0$ 在该区间恒成立.

当 $m\geqslant2$ 时，导数在区间上的最大值为 $f'(2)$，故 $2m+n\leqslant12$. 此时 $2\leqslant m\leqslant6$，且

当 $0\leqslant m<2$ 时，导数在区间上的最大值为 $f'\left(\frac12\right)$，故 $n\leqslant9-\frac m2$. 因而 $mn\leqslant m\left(9-\frac m2\right)<16<18$.

取 $m=3$，$n=6$ 时，$f'(x)=x-2\leqslant0$ 在给定区间成立，且 $mn=18$，故选 B. \end{solution}

某食品的保鲜时间 $y$（单位：小时）与储藏温度 $x$（单位：$^{\circ}\mathrm{C}$）满足函数关系 $y = \mathrm{e}^{kx + b}$（$\mathrm{e} = 2.718 \cdots$ 为自然对数的底数，$k$，$b$ 为常数）. 若该食品在 $0^{\circ}\mathrm{C}$ 的保鲜时间是 $192$ 小时，在 $22^{\circ}\mathrm{C}$ 的保鲜时间是 $48$ 小时，则该食品在 $33^{\circ}\mathrm{C}$ 的保鲜时间是______ 小时.

\begin{solution} 由 $y(0)=\mathrm{e}^b=192$，$y(22)=\mathrm{e}^{22k+b}=48$，两式相除得 $\mathrm{e}^{22k}=\dfrac14$. 因此 \end{solution}

已知函数 $f(x) = 2^x$，$g(x) = x^2 + ax$（其中 $a \in \mathbf{R}$）. 对于不相等的实数 $x_1$，$x_2$，设 $m = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$，$n = \frac{g(x_1) - g(x_2)}{x_1 - x_2}$，现有如下命题：

① 对于任意不相等的实数 $x_{1}$，$x_{2}$，都有 $m > 0$； ② 对于任意的 $a$ 及任意不相等的实数 $x_{1}$，$x_{2}$，都有 $n > 0$； ③ 对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_{1}$，$x_{2}$，使得 $m = n$； ④ 对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_{1}$，$x_{2}$，使得 $m = -n$.

其中的真命题有______. （写出所有真命题的序号）

\begin{solution} 先化简 因为 $2^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上严格递增，所以 $x_1\ne x_2$ 时 $m>0$，命题 1 为真. 命题 2 不真，例如取 $a=0$，$x_1=-2$，$x_2=-1$，则 $n=-3<0$.

命题 3 也不真. 取 $a=-10$，记 $s=x_1+x_2$，$d=x_1-x_2\ne0$，则 若 $s\leqslant10$，则 $n=s-10\leqslant0<m$. 若 $s>10$，函数 $(\ln2)2^{\frac{s}{2}}-(s-10)$ 的导数在 $[10,+\infty)$ 上为正，因此该函数递增且在 $s=10$ 时为正，所以仍有 $m>s-10=n$，不可能 $m=n$.

对于命题 4，固定取 $x_1=t+1$，$x_2=t-1$，则 $m=\dfrac34\,2^t$，$n=2t+a$. 函数 $h(t)=\dfrac34\,2^t+2t+a$ 连续，且当 $t\to-\infty$ 时 $h(t)\to-\infty$，当 $t\to+\infty$ 时 $h(t)\to+\infty$. 由介值定理，存在 $t$ 使 $h(t)=0$，即 $m=-n$，命题 4 为真. 所以真命题的序号为 $\circled{1}\circled{4}$. \end{solution}