设数列 $\{a_{n}\}$（$n = 1$，$2$，$3$，$\dots$） 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2a_{n} - a_{1}$，且 $a_1$，$a_2 + 1$，$a_3$ 成等差数列.

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2) 记数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$，求使得 $\left|T_{n} - 1\right| < \frac{1}{1000}$ 成立的 $n$ 的最小值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 $n\geqslant2$ 时，由 $S_n-S_{n-1}=a_n$ 得 所以 $a_n=2a_{n-1}$. 因而 $a_n=2^{n-1}a_1$. 又 $a_1$，$a_2+1$，$a_3$ 成等差数列，所以 $2(a_2+1)=a_1+a_3$，$2(2a_1+1)=a_1+4a_1$ 解得 $a_1=2$，从而 $a_n=2^n$. \item 故 $\lvert T_n-1\rvert=2^{-n}$. 条件 $2^{-n}<\dfrac1{1000}$ 等价于 $2^n>1000$. 由于 $2^9=512<1000<1024=2^{10}$，所以 $n$ 的最小值为 $10$. \end{enumerate} \end{solution}