如图，四边形 $ABCD$ 和 $ADPQ$ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 $M$ 在线段 $PQ$ 上，$E$，$F$ 分别为 $AB$，$BC$ 的中点. 设异面直线 $EM$ 与 $AF$ 所成的角为 $\theta$，则 $\cos \theta$ 的最大值为______.

\begin{solution} 设两个正方形的边长均为 $s>0$，建立直角坐标系，使 $A=(0,0,0)$，$B=(s,0,0)$，$D=(0,s,0)$，$C=(s,s,0)$，$Q=(0,0,s)$，$P=(0,s,s)$. 则 $E=\left(\frac s2,0,0\right)$，$F=\left(s,\frac s2,0\right)$. 设 $M=(0,t,s)$，其中 $0\leqslant t\leqslant s$.

取 $EM$ 和 $AF$ 的方向向量，得 $\overrightarrow{EM}=\left(-\frac s2,t,s\right)$，$\overrightarrow{AF}=\left(s,\frac s2,0\right)$. 因而 令 $u=\dfrac ts$，则 $0\leqslant u\leqslant1$，从而 其中不等式等价于 $u^2-10u\leqslant0$. 当 $u=0$，即 $t=0$ 时等号成立，所以 $\cos\theta$ 的最大值为 $\dfrac25$. \end{solution}

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. 在正方体中，设 $BC$ 的中点为 $M$，$GH$ 的中点为 $N$.

(1) 请将字母 $F$，$G$，$H$ 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； (2) 证明：直线 $MN\parallel$ 平面 $BDH$； (3) 求二面角 $A - EG - M$ 的余弦值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 按正方体的顶点对应关系，$F$，$G$，$H$ 分别标在 $B$，$C$，$D$ 的正上方顶点处. \item 取正方体棱长为 $1$，建立直角坐标系，令 $A=(0,0,0)$，$\ B=(1,0,0)$，$\ C=(1,1,0)$，$\ D=(0,1,0)$ $E=(0,0,1)$，$\ F=(1,0,1)$，$\ G=(1,1,1)$，$\ H=(0,1,1)$. 则 $M=\left(1,\frac12,0\right)$，$N=\left(\frac12,1,1\right)$，所以 平面 $BDH$ 的方程为 $x+y=1$，而 $M$ 的坐标满足 $x+y=\frac32$. 由于 $\overrightarrow{BD}$ 和 $\overrightarrow{DH}$ 都在平面 $BDH$ 内，且 $M$ 不在该平面上，故 $MN\parallel$ 平面 $BDH$. \item 平面 $AEG$ 内两个相交向量可取 $\overrightarrow{EA}=(0,0,-1)$，$\overrightarrow{EG}=(1,1,0)$，故其法向量可取 $\boldsymbol{n}_1=(1,-1,0)$. 平面 $MEG$ 内两个相交向量可取 $\overrightarrow{EM}=\left(1,\frac12,-1\right)$，$\overrightarrow{EG}=(1,1,0)$，故其法向量可取 $\boldsymbol{n}_2=\left(1,-1,\frac12\right)$. \end{enumerate} \end{solution}