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07指数函数与对数函数★★★★☆
已知 a=5log⁡23.4a = 5^{\log_{2} 3.4}a=5log2​3.4,b=5log⁡43.6b = 5^{\log_{4} 3.6}b=5log4​3.6,c=(15)log⁡30.3c = \left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{3} 0.3}c=(51​)log3​0.3,则( )
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由于底数 5>15>15>1,只需比较三个指数. 令 u=log⁡23.4u=\log_2 3.4u=log2​3.4,v=log⁡43.6v=\log_4 3.6v=log4​3.6,w=−log⁡30.3=log⁡3103w=-\log_3 0.3=\log_3\frac{10}{3}w=−log3​0.3=log3​310​. 由 1<3.6<41<3.6<41<3.6<4,得 0<v<10<v<10<v<1. 又因为 103>3\frac{10}{3}>3310​>3,所以 w>1w>1w>1,从而 w>vw>vw>v. 另一方面,
3.44=(175)4=83521625>80000625=273.4^4=\left(\frac{17}{5}\right)^4=\frac{83521}{625} >\frac{80000}{625}=2^73.44=(517​)4=62583521​>62580000​=27
给出 u>74u>\frac74u>47​,而
(103)4=1000081<17714781=37\left(\frac{10}{3}\right)^4=\frac{10000}{81} <\frac{177147}{81}=3^7(310​)4=8110000​<81177147​=37
给出 w<74w<\frac74w<47​. 因此 u>w>vu>w>vu>w>v. 于是
a>c>ba>c>ba>c>b
选 C. \end{solution}
A.
a>b>ca > b > ca>b>c
B.
b>a>cb > a > cb>a>c
C.
a>c>ba > c > ba>c>b
D.
c>a>bc > a > bc>a>b

2011 · 天津 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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