已知直角梯形 $ABCD$ 中，$AD \parallel BC$，$\angle ADC = 90^{\circ}$，$AD = 2$，$BC = 1$，$P$ 是腰 $DC$ 上的动点，则 $\left|\overrightarrow{PA} + 3\overrightarrow{PB}\right|$ 的最小值为______. \begin{answer} $5$ \end{answer}

\begin{solution} 建立直角坐标系，令 $D=(0,0)$，$C=(0,h)$，$A=(2,0)$，$B=(1,h)$ 其中 $h>0$. 设 对任意 $P\in DC$， 点 $Q$ 到直线 $DC$ 的垂足为 $(0,3\frac{h}{4})$，属于线段 $DC$，所以 $PQ$ 的最小值为 $\frac{5}{4}$. 因而 \end{solution}