已知函数 $f(x)=x^3+k\ln x$（$k\in\mathbf{R}$），$f'(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数.

(1) 当 $k=6$ 时，

(i) 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程； (ii) 求函数 $g(x)=f(x)-f'(x)+\dfrac9x$ 的单调区间和极值； (2) 当 $k\ge-3$ 时，求证：对任意的 $x_1$，$x_2\in[1,+\infty)$，且 $x_1>x_2$，有 $\dfrac{f'(x_1)+f'(x_2)}{2}>\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$.