下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 函数 $y=\cos x$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，且 $\cos(-x)=\cos x$，所以它是偶函数；又 $\cos\frac{\pi}{2}=0$，所以它存在零点. 函数 $y=\sin x$ 满足 $\sin(-x)=-\sin x$，是奇函数；函数 $y=\ln x$ 的定义域为 $(0,+\infty)$，不是关于原点对称的集合，不是偶函数；函数 $y=x^2+1$ 虽为偶函数，但对任意实数 $x$ 都有 $x^2+1>0$，没有零点. 所以应选 A. \end{solution}

函数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 由图象右端向上，知三次项系数 $a>0$. 设两个极值点的横坐标为 $x_1$、$x_2$，由图可知 $0<x_1<x_2$. 因为 且 $x_1$，$x_2$ 是方程 $f'(x)=0$ 的两个根，所以 结合 $a>0$，得 $b<0$. 图象在 $x=0$ 处递增，所以 $c=f'(0)>0$；又图象与 $y$ 轴的交点在 $x$ 轴上方，所以 $d=f(0)>0$. 因此只有选项 A 成立. \end{solution}

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，若直线 $y = 2a$ 与函数 $y = |x - a| - 1$ 的图象只有一个交点，则 $a$ 的值为______.

\begin{answer} $-\frac{1}{2}$ \end{answer}

\begin{solution} 联立直线与函数图象的方程，得 即 $|x-a|=2a+1$. 若 $2a+1>0$，则 $x-a=\pm(2a+1)$，有两个不同的交点；若 $2a+1<0$，则绝对值方程无解；只有 $2a+1=0$ 时，方程有唯一解 $x=a$. 因此 \end{solution}

已知函数 $f(x) = \frac{ax}{(x + r)^2}$（$a > 0$，$r > 0$）.

(1) 求 $f(x)$ 的定义域，并讨论 $f(x)$ 的单调性； (2) 若 $\frac{a}{r} = 400$，求 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 内的极值.