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01复数★☆☆☆☆
设 ii 是虚数单位，则复数 (1−i)(1+2i)=(1 - \mathrm{i})(1 + 2\mathrm{i}) =（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 利用 i2=−1\mathrm{i}^2=-1，直接展开得
(1−i)(1+2i)=1+2i−i−2i2=1+i+2=3+i(1-\mathrm{i})(1+2\mathrm{i})=1+2\mathrm{i}-\mathrm{i}-2\mathrm{i}^2=1+\mathrm{i}+2=3+\mathrm{i}
所以应选 C. \end{solution}
A.
3+3i3 + 3\mathrm{i}
B.
−1+3i-1 + 3\mathrm{i}
C.
3+i3 + \mathrm{i}
D.
−1+i-1 + \mathrm{i}

2015 · 安徽 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设全集 U={1,2,3,4,5,6}U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}，A={1,2}A = \{1, 2\}，B={2,3,4}B = \{2, 3, 4\}，则 A∩(∁UB)=A \cap (\complement_U B) =（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 在全集 UU 中去掉集合 BB 的元素，得到 ∁UB={1,5,6}\complement_U B=\{1,5,6\}. 因而
A∩(∁UB)={1,2}∩{1,5,6}={1}A\cap(\complement_U B)=\{1,2\}\cap\{1,5,6\}=\{1\}
所以应选 B. \end{solution}
A.
{1,2,5,6}\{1, 2, 5, 6\}
B.
{1}\{1\}
C.
{2}\{2\}
D.
{1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\}

2015 · 安徽 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设 p:x<3p: x < 3，q:−1<x<3q: -1 < x < 3，则 pp 是 qq 成立的（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 若 qq 成立，则 −1<x<3-1<x<3，必有 pp 成立，因此 pp 是 qq 成立的必要条件. 但 pp 成立不一定有 qq 成立，例如 x=−2x=-2 时 pp 成立而 qq 不成立，所以 pp 不是充分条件. 因此 pp 是 qq 成立的必要不充分条件，应选 C. \end{solution}
A.
充分必要条件
B.
充分不必要条件
C.
必要不充分条件
D.
既不充分也不必要条件

2015 · 安徽 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 函数 y=cos⁡xy=\cos x 的定义域为 R\mathbf{R}，且 cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos x，所以它是偶函数；又 cos⁡π2=0\cos\frac{\pi}{2}=0，所以它存在零点. 函数 y=sin⁡xy=\sin x 满足 sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x)=-\sin x，是奇函数；函数 y=ln⁡xy=\ln x 的定义域为 (0,+∞)(0,+\infty)，不是关于原点对称的集合，不是偶函数；函数 y=x2+1y=x^2+1 虽为偶函数，但对任意实数 xx 都有 x2+1>0x^2+1>0，没有零点. 所以应选 A. \end{solution}
A.
y=cos⁡xy = \cos x
B.
y=sin⁡xy = \sin x
C.
y=ln⁡xy = \ln x
D.
y=x2+1y = x^{2} + 1

2015 · 安徽 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05不等式★★☆☆☆
已知 xx，yy 满足约束条件
{x−y⩾0,x+y−4⩽0,y⩾1,\begin{cases} x - y \geqslant 0,\\ x + y - 4 \leqslant 0,\\ y \geqslant 1, \end{cases}
，则 z=−2x+yz = -2x + y 的最大值是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由约束条件得 x⩾yx\geqslant y 且 y⩾1y\geqslant1. 因为 z=−2x+yz=-2x+y，对固定的 yy，当 xx 取允许的最小值时 zz 最大；而 x⩾yx\geqslant y，所以
z=−2x+y⩽−2y+y=−y⩽−1z=-2x+y\leqslant-2y+y=-y\leqslant-1
取 x=y=1x=y=1 时，三个约束条件分别取值为 00、−2-2、11，均满足，且 z=−1z=-1. 因而最大值为 −1-1，应选 A. \end{solution}
A.
−1-1
B.
−2-2
C.
−5-5
D.
1

2015 · 安徽 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06解析几何★☆☆☆☆
下列双曲线中，渐近线方程为 y=±2xy = \pm 2x 的是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 的渐近线为 y=±baxy=\pm\frac{b}{a}x. 选项 A 可写成 x212−y222=1\frac{x^2}{1^2}-\frac{y^2}{2^2}=1，其渐近线为 y=±2xy=\pm2x. 其余选项对应的 ba\frac{b}{a} 分别为 12\frac12、2\sqrt2、12\frac{1}{\sqrt2}，均不等于 22. 所以应选 A. \end{solution}
A.
x2−y24=1x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1
B.
x24−y2=1\frac{x^2}{4} - y^2 = 1
C.
x2−y22=1x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1
D.
x22−y2=1\frac{x^2}{2} - y^2 = 1

2015 · 安徽 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07概率与统计★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的 nn 为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 程序开始时 a=1a=1，n=1n=1. 第一次判断中，∣1−1.414∣=0.414⩾0.005|1-1.414|=0.414\geqslant0.005，所以更新得 a=1+11+1=1.5a=1+\frac{1}{1+1}=1.5，并令 n=2n=2.
第二次判断中，∣1.5−1.414∣=0.086⩾0.005|1.5-1.414|=0.086\geqslant0.005，所以更新得 a=1+11+1.5=1.4a=1+\frac{1}{1+1.5}=1.4，并令 n=3n=3.
第三次判断中，∣1.4−1.414∣=0.014⩾0.005|1.4-1.414|=0.014\geqslant0.005，所以更新得 a=1+11+1.4=1+512=1712a=1+\frac{1}{1+1.4}=1+\frac{5}{12}=\frac{17}{12}，并令 n=4n=4.
此时
∣1712−1.414∣=∣1712−707500∣=1375<0.005\left|\frac{17}{12}-1.414\right|=\left|\frac{17}{12}-\frac{707}{500}\right|=\frac{1}{375}<0.005
满足停止条件，程序输出 n=4n=4. 所以应选 B. \end{solution}
A.
33
B.
44
C.
55
D.
66

2015 · 安徽 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★☆☆☆
直线 3x+4y=b3x + 4y = b 与圆 x2+y2−2x−2y+1=0x^{2} + y^{2} - 2x - 2y + 1 = 0 相切，则 bb 的值是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 将圆的方程配方，得
(x−1)2+(y−1)2=1(x-1)^2+(y-1)^2=1
所以圆心为 (1,1)(1,1)，半径为 11. 圆心到直线 3x+4y−b=03x+4y-b=0 的距离为
∣3⋅1+4⋅1−b∣32+42=∣7−b∣5\frac{|3\cdot1+4\cdot1-b|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|7-b|}{5}
相切时该距离等于半径，故 ∣7−b∣=5|7-b|=5，从而 b=2b=2 或 b=12b=12. 所以应选 D. \end{solution}
A.
−2-2 或 1212
B.
22 或 −12-12
C.
−2-2 或 −12-12
D.
22 或 1212

2015 · 安徽 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 根据三视图建立直角坐标系，可取四面体的四个顶点为 A=(−1,0,0)A=(-1,0,0)、B=(1,0,0)B=(1,0,0)、C=(0,1,0)C=(0,1,0)、P=(0,0,1)P=(0,0,1). 在正视图中，AA，BB 的投影为底边两端，PP 的投影为顶点，CC 的投影为底边中点；在侧视图中，AA，BB 的投影重合，CC 与该投影的水平距离为 11，PP 与该投影的竖直距离为 11；俯视图也与上述坐标投影一致，因此该坐标模型与三视图一致.
由坐标可得 AB=2AB=2，且 AC=BC=AP=BP=CP=2AC=BC=AP=BP=CP=\sqrt2. 三角形 ABCABC 和 PABPAB 的底边都为 22，对应高都为 11，所以
SABC=SPAB=12×2×1=1S_{ABC}=S_{PAB}=\frac12\times2\times1=1
三角形 PACPAC 和 PBCPBC 的三边都为 2\sqrt2，均为等边三角形，故
SPAC=SPBC=34(2)2=32S_{PAC}=S_{PBC}=\frac{\sqrt3}{4}(\sqrt2)^2=\frac{\sqrt3}{2}
所以四面体的表面积为
S=1+1+32+32=2+3S=1+1+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}=2+\sqrt3
因此应选 B. \end{solution}
A.
1+31 + \sqrt{3}
B.
2+32 + \sqrt{3}
C.
1+221 + 2\sqrt{2}
D.
222\sqrt{2}

2015 · 安徽 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由图象右端向上，知三次项系数 a>0a>0. 设两个极值点的横坐标为 x1x_1、x2x_2，由图可知 0<x1<x20<x_1<x_2. 因为
f′(x)=3ax2+2bx+cf'(x)=3ax^2+2bx+c
且 x1x_1，x2x_2 是方程 f′(x)=0f'(x)=0 的两个根，所以
x1+x2=−2b3a>0x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0
结合 a>0a>0，得 b<0b<0. 图象在 x=0x=0 处递增，所以 c=f′(0)>0c=f'(0)>0；又图象与 yy 轴的交点在 xx 轴上方，所以 d=f(0)>0d=f(0)>0. 因此只有选项 A 成立. \end{solution}
A.
a>0a > 0，b<0b < 0，c>0c > 0，d>0d > 0
B.
a>0a > 0，b<0b < 0，c<0c < 0，d>0d > 0
C.
a<0a < 0，b<0b < 0，c>0c > 0，d>0d > 0
D.
a>0a > 0，b>0b > 0，c>0c > 0，d<0d < 0

2015 · 安徽 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11指数函数与对数函数★☆☆☆☆
计算： lg⁡52+2lg⁡2−(12)−1=\lg\frac{5}{2}+2\lg2-\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=______.
\begin{answer} −1-1 \end{answer}
\begin{solution} 由对数运算性质，
lg⁡52+2lg⁡2=lg⁡52+lg⁡4=lg⁡10=1\lg\frac52+2\lg2=\lg\frac52+\lg4=\lg10=1
又 (12)−1=2\left(\frac12\right)^{-1}=2，所以原式的值为 1−2=−11-2=-1. \end{solution}

2015 · 安徽 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AB=6AB = \sqrt{6}，∠A=75∘\angle A = 75^{\circ}，∠B=45∘\angle B = 45^{\circ}，则 AC=AC =______.
\begin{answer} 22 \end{answer}
\begin{solution} 三角形内角和给出 ∠C=180∘−75∘−45∘=60∘\angle C=180^{\circ}-75^{\circ}-45^{\circ}=60^{\circ}. 由正弦定理，
ACsin⁡45∘=ABsin⁡60∘\frac{AC}{\sin45^{\circ}}=\frac{AB}{\sin60^{\circ}}
所以
AC=6sin⁡45∘sin⁡60∘=62232=2AC=\sqrt6\frac{\sin45^{\circ}}{\sin60^{\circ}} =\sqrt6\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=2
\end{solution}

2015 · 安徽 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1=1a_{1}=1，an=an−1+12a_{n}=a_{n-1}+\frac{1}{2}（n⩾2n\geqslant2），则数列 {an}\{a_{n}\} 的前 99 项和等于______.
\begin{answer} 2727 \end{answer}
\begin{solution} 由递推式可知 an−an−1=12a_n-a_{n-1}=\frac12，所以 {an}\{a_n\} 是首项为 11、公差为 12\frac12 的等差数列. 因而
an=1+(n−1)12=n+12a_n=1+(n-1)\frac12=\frac{n+1}{2}
特别地，a9=5a_9=5. 于是前 99 项和为
S9=9(a1+a9)2=9(1+5)2=27S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}=\frac{9(1+5)}{2}=27
\end{solution}

2015 · 安徽 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，若直线 y=2ay = 2a 与函数 y=∣x−a∣−1y = |x - a| - 1 的图象只有一个交点，则 aa 的值为______.
\begin{answer} −12-\frac{1}{2} \end{answer}
\begin{solution} 联立直线与函数图象的方程，得
2a=∣x−a∣−12a=|x-a|-1
即 ∣x−a∣=2a+1|x-a|=2a+1. 若 2a+1>02a+1>0，则 x−a=±(2a+1)x-a=\pm(2a+1)，有两个不同的交点；若 2a+1<02a+1<0，则绝对值方程无解；只有 2a+1=02a+1=0 时，方程有唯一解 x=ax=a. 因此
a=−12a=-\frac12
\end{solution}

2015 · 安徽 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 是边长为 22 的等边三角形，已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 AB→=2a\overrightarrow{AB} = 2\boldsymbol{a}，AC→=2a+b\overrightarrow{AC} = 2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}. 则下列结论中正确的是______. （写出所有正确结论的序号）
① a\boldsymbol{a} 为单位向量； ② b\boldsymbol{b} 为单位向量； ③ a⊥b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}； ④ b∥BC→\boldsymbol{b}\parallel\overrightarrow{BC}； ⑤ (4a+b)⊥BC→\left(4\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\right)\perp\overrightarrow{BC}.
\begin{answer} \circled1\circled4\circled5\circled{1}\circled{4}\circled{5} \end{answer}
\begin{solution} 因为 ABCABC 是边长为 22 的等边三角形，所以 ∣AB→∣=∣AC→∣=∣BC→∣=2|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BC}|=2. 由 AB→=2a\overrightarrow{AB}=2\boldsymbol{a}，得 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}|=1，结论\circled1\circled{1}正确.
又
BC→=AC→−AB→=b\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{b}
所以 ∣b∣=2|\boldsymbol{b}|=2，结论\circled2\circled{2}错误，且 b∥BC→\boldsymbol{b}\parallel\overrightarrow{BC}，结论\circled4\circled{4}正确.
由 ∣2a+b∣=∣AC→∣=2|2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\overrightarrow{AC}|=2，平方得
4∣a∣2+4a⋅b+∣b∣2=44|\boldsymbol{a}|^2+4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+|\boldsymbol{b}|^2=4
代入 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}|=1、∣b∣=2|\boldsymbol{b}|=2，得到 a⋅b=−1≠0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-1\ne0，所以结论\circled3\circled{3}错误. 最后
(4a+b)⋅BC→=(4a+b)⋅b=4(−1)+22=0\left(4\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\right)\cdot\overrightarrow{BC} =\left(4\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\right)\cdot\boldsymbol{b} =4(-1)+2^2=0
故结论\circled5\circled{5}正确. 所有正确结论的序号为 \circled1\circled{1}、\circled4\circled{4}、\circled5\circled{5}. \end{solution}

2015 · 安徽 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=(sin⁡x+cos⁡x)2+cos⁡2xf(x) = (\sin x + \cos x)^2 + \cos 2x.
(1) 求 f(x)f(x) 最小正周期； (2) 求 f(x)f(x) 在区间 [0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right] 上的最大值和最小值.

2015 · 安徽 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某企业为了了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名50\text{ 名} 职工，根据这 50 名50\text{ 名} 职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：[40,50)\left[40,50\right)，[50,60)\left[50,60\right)，…，[80,90)\left[80,90\right)，[90,100]\left[90,100\right].
(1) 求频率分布直方图中 aa 的值； (2) 估计该企业的职工对该部门评分不低于 8080 的概率； (3) 从评分在 [40,60)\left[40,60\right) 的受访职工中，随机抽取 2 人2\text{ 人}，求此 22 人评分都在 [40,50)\left[40,50\right) 的概率.

2015 · 安徽 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 是递增的等比数列，且 a1+a4=9a_{1} + a_{4} = 9，a2a3=8a_{2}a_{3} = 8.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 SnS_{n} 为数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，bn=an+1SnSn+1b_{n} = \frac{a_{n+1}}{S_{n} S_{n+1}}，求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 TnT_{n}.

2015 · 安徽 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，三棱锥 P−ABCP-ABC 中，PA⊥PA \perp 平面 ABCABC，PA=1PA = 1，AB=1AB = 1，AC=2AC = 2，∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ.
(1) 求三棱锥 P−ABCP-ABC 的体积； (2) 证明：在线段 PCPC 上存在点 MM，使得 AC⊥BMAC \perp BM，并求 PMMC\frac{PM}{MC} 的值.

2015 · 安徽 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★☆☆
设椭圆 EE 的方程为 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0），点 OO 为坐标原点，点 AA 的坐标为 (a,0)(a, 0)，点 BB 的坐标为 (0,b)(0, b)，点 MM 在线段 ABAB 上，满足 ∣BM∣=2∣MA∣|BM| = 2|MA|，直线 OMOM 的斜率为 510\frac{\sqrt{5}}{10}.
(1) 求 EE 的离心率 ee； (2) 设点 CC 的坐标为 (0,−b)(0, -b)，NN 为线段 ACAC 的中点，证明：MN⊥ABMN \perp AB.

2015 · 安徽 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax(x+r)2f(x) = \frac{ax}{(x + r)^2}（a>0a > 0，r>0r > 0）.
(1) 求 f(x)f(x) 的定义域，并讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 ar=400\frac{a}{r} = 400，求 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0, +\infty) 内的极值.

2015 · 安徽 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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