某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为 $\frac{16}{25}$，则该队员每次罚球的命中率为______.

\begin{answer} $\frac{3}{5}$ \end{answer}

\begin{solution} 按高考中重复试验的通常模型，将两次罚球视为相互独立，设每次罚球命中的概率为 $p$，则两次都命中的概率为 $p^2$. “至多命中一次”的对立事件是“两次都命中”，所以 $1-p^2=\frac{16}{25}$，即 $p^2=\frac{9}{25}$. 由于概率满足 $0\leqslant p\leqslant1$，故 $p=\frac35$.

若只按题面“命中率相同”而不补充独立性，则只能得到两次都命中的概率为 $\frac{9}{25}$. 设两次命中事件分别为 $X_1$，$X_2$，则 $P(X_1\cap X_2^{\complement})=P(X_1^{\complement}\cap X_2)=p-\frac{9}{25}$，且 $P(X_1^{\complement}\cap X_2^{\complement})=1-2p+\frac{9}{25}$，非负性只给出 $\frac{9}{25}\leqslant p\leqslant\frac{17}{25}$，不能唯一确定 $p$. 因此本题答案 $\frac35$ 采用上述独立重复试验模型. \end{solution}

在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为 $1$，$2$，$\cdots$，$6$），求：

(1) 甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (2) 甲、乙两单位之间的演出单位个数 $\xi$ 的分布列与期望.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 甲、乙两单位的演出序号是从 $1$，$2$，$\ldots$，$6$ 中随机取出的两个不同序号. 两序号都为偶数的概率为 $\frac{\mathrm C_3^2}{\mathrm C_6^2}=\frac{1}{5}$，所以至少有一个为奇数的概率为 $1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$. \item 两单位的演出序号之差为 $d$ 时，满足条件的无序位置对有 $6-d$ 个，全部无序位置对有 $\mathrm C_6^2=15$ 个. 由于 $\xi=d-1$，所以 $\xi$ 的分布列为 \begin{center} \begin{tabular}{c|ccccc} $\xi$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ \ \hline $P$ & $\frac{5}{15}$ & $\frac{4}{15}$ & $\frac{3}{15}$ & $\frac{2}{15}$ & $\frac{1}{15}$ \end{tabular} \end{center} 从而 $E(\xi)=0\cdot\frac{5}{15}+1\cdot\frac{4}{15}+2\cdot\frac{3}{15}+3\cdot\frac{2}{15}+4\cdot\frac{1}{15}=\frac{4}{3}$. \end{enumerate} \end{solution}