到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 设过第一条直线且平行于第二条直线的平面为 $\pi$，把第二条直线在 $\pi$ 上的正投影记为 $l_2'$. 由于两条异面直线互相垂直，$l_2'$ 与第一条直线在平面 $\pi$ 内相交且互相垂直. 设两条直线之间的距离为 $h$，则 $h>0$.

在平面 $\pi$ 内建立直角坐标系，使第一条直线为 $x$ 轴，$l_2'$ 为 $y$ 轴. 对平面 $\pi$ 内任一点 $P(x,y)$，有 $d(P,l_1)=|y|$，$d(P,l_2)^2=d(P,l_2')^2+h^2=x^2+h^2$. 题设条件给出 这是以坐标轴方向为渐近线的双曲线，故选 D. \end{solution}

如图，四棱锥 $P - ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形，$PA \perp$ 底面 $ABCD$，$PA = AB = \sqrt{6}$，点 $E$ 是棱 $PB$ 的中点.

(1) 求直线 AD 与平面 PBC 的距离； (2) 若 $AD = \sqrt{3}$，求二面角 $A - EC - D$ 的平面角的余弦值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 建立如图所示的直角坐标系，设 $s=\sqrt{6}$，$AD=d$，取 $A(0,0,0)$，$B(s,0,0)$，$D(0,d,0)$，$C(s,d,0)$，$P(0,0,s)$. 由 $E$ 为 $PB$ 的中点，得 $E\left(\frac{s}{2},0,\frac{s}{2}\right)$. 平面 $PBC$ 的方程为 $x+z=s$，直线 $AD$ 的方向为 $y$ 轴方向，且与平面 $PBC$ 平行. 因此直线 $AD$ 到平面 $PBC$ 的距离为 $\frac{s}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$. \item 当 $d=\sqrt{3}$ 时，取平面 $AEC$ 的两个方向向量 $\overrightarrow{AC}=(s,d,0)$、$\overrightarrow{AE}=\left(\frac{s}{2},0,\frac{s}{2}\right)$，取平面 $DEC$ 的两个方向向量 $\overrightarrow{DC}=(s,0,0)$、$\overrightarrow{DE}=\left(\frac{s}{2},-d,\frac{s}{2}\right)$. 相应法向量可取 $\boldsymbol{n}_1=(ds,-s^2,-ds)$、$\boldsymbol{n}_2=(0,-s^2,-2ds)$. 代入 $s=\sqrt{6}$、$d=\sqrt{3}$，得 $\boldsymbol{n}_1=(3\sqrt{2},-6,-3\sqrt{2})$、$\boldsymbol{n}_2=(0,-6,-6\sqrt{2})$. 所以二面角的平面角 $\alpha$ 满足 $\cos\alpha=\frac{|\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}=\frac{72}{\sqrt{72}\sqrt{108}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$. \end{enumerate} \end{solution}