若等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{2} + a_{4} = 20$，$a_{3} + a_{5} = 40$，则公比 $q =$______，前 $n$ 项和 $S_{n} =$______.

已知 $\{a_{n}\}$ 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 $n$ 项的最大值记为 $A_{n}$，第 $n$ 项之后各项 $a_{n+1}$，$a_{n+2}$，$\cdots$ 的最小值记为 $B_{n}$，$d_{n} = A_{n} - B_{n}$.

(1) 若 $\{a_{n}\}$ 为 2, 1, 4, 3, 2, 1, 4, 3, $\cdots$，是一个周期为 4 的数列 （即对任意 $n \in \mathbf{N}^{*}$，$a_{n+4} = a_{n}$ ），写出 $d_{1}$，$d_{2}$，$d_{3}$，$d_{4}$ 的值； (2) 设 $d$ 是非负整数，证明： $d_{n} = -d$ （$n = 1$，$2$，$3 \cdots$）的充分必要条件为 $\{a_{n}\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列； (3) 证明：若 $a_{1} = 2$，$d_{n} = 1$（$n = 1$，$2$，$3$，$\cdots$），则 $\{a_{n}\}$ 的项只能是 1 或者 2，且有无穷多项为 1.