如图，在棱长为 2 的正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$E$ 为 $BC$ 的中点，点 $P$ 在线段 $D_{1}E$ 上，点 $P$ 到直线 $CC_{1}$ 的距离的最小值为______.

如图，在三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，$AA_{1}C_{1}C$ 是边长为 4 的正方形. 平面 $ABC \perp$ 平面 $AA_{1}C_{1}C$，$AB = 3$，$BC = 5$.

(1) 求证： $AA_{1} \perp$ 平面 $ABC$； (2) 求二面角 $A_{1} - BC_{1} - B_{1}$ 的余弦值； (3) 证明：在线段 $BC_{1}$ 上存在点 $D$，使得 $AD \perp A_{1}B$，并求 $\frac{BD}{BC_{1}}$ 的值.