设曲线 $y = x^{n + 1}$（$n \in \mathbf{N}^*$）在点 $\left(1,1\right)$ 处的切线与 $x$ 轴的交点的横坐标为 $x_n$. 令 $a_n = \lg x_n$，则 $a_1 + a_2 + \dots + a_{99}$ 的值为______.

已知函数 $f\left(x\right) = \ln\left(ax + 1\right) + \frac{1 - x}{1 + x}$，$x \geqslant 0$，其中 $a > 0$.

(1) 若 $f\left(x\right)$ 在 $x = 1$ 处取得极值，求 $a$ 的值； (2) 求 $f\left(x\right)$ 的单调区间； (3) 若 $f\left(x\right)$ 的最小值为 1，求 $a$ 的取值范围.