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01不等式★★☆☆☆
设不等式 x2−x⩽0x^{2} - x \leqslant 0 的解集为 MM，函数 f(x)=ln⁡(1−∣x∣)f\left(x\right) = \ln\left(1 - |x|\right) 的定义域为 NN，则 M∩NM \cap N 为（ ）
A.
[0,1)\left[0, 1\right)
B.
(0,1)\left(0,1\right)
C.
[0,1]\left[0,1\right]
D.
(−1,0]\left(-1,0\right]

2009 · 陕西 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★★☆☆☆
已知 zz 是纯虚数，z+21−i\frac{z + 2}{1 - \mathrm{i}} 是实数，那么 zz 等于（ ）
A.
2i2\mathrm{i}
B.
i\mathrm{i}
C.
−i-\mathrm{i}
D.
−2i-2\mathrm{i}

2009 · 陕西 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=2x−4f\left(x\right) = \sqrt{2x - 4}（x⩾4x \geqslant 4）的反函数为（ ）
A.
f−1(x)=12x2+2f^{-1}\left(x\right) = \frac{1}{2} x^2 + 2（x⩾0x\geqslant 0）
B.
f−1(x)=12x2+2f^{-1}\left(x\right) = \frac{1}{2} x^2 + 2（x⩾2x\geqslant 2）
C.
f−1(x)=12x2+4f^{-1}\left(x\right) = \frac{1}{2} x^2 + 4（x⩾0x\geqslant 0）
D.
f−1(x)=12x2+4f^{-1}\left(x\right) = \frac{1}{2} x^2 + 4（x⩾2x\geqslant 2）

2009 · 陕西 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★★☆☆☆
过原点且倾斜角为 60∘60^{\circ} 的直线被圆 x2+y2−4y=0x^{2} + y^{2} - 4y = 0 所截得的弦长为（ ）
A.
3\sqrt{3}
B.
22
C.
6\sqrt{6}
D.
232\sqrt{3}

2009 · 陕西 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
若 3sin⁡α+cos⁡α=03\sin \alpha + \cos \alpha = 0，则 1cos⁡2α+sin⁡2α\frac{1}{\cos^2\alpha + \sin 2\alpha} 的值为（ ）
A.
103\frac{10}{3}
B.
53\frac{5}{3}
C.
23\frac{2}{3}
D.
−2-2

2009 · 陕西 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (1−2x)2009=a0+a1x+⋯+a2009x2009\left(1-2x\right)^{2009}=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{2009}x^{2009} （x∈Rx\in \mathbf{R}），则 a12+a222+⋯+a200922009\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{2^{2}}+\cdots+\frac{a_{2009}}{2^{2009}}（ ）
A.
22
B.
00
C.
−1-1
D.
−2-2

2009 · 陕西 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07集合与逻辑基础★★★☆☆
“ m>n>0m > n > 0 ”是“方程 mx2+ny2=1mx^{2} + ny^{2} = 1 表示焦点在 yy 轴上的椭圆”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2009 · 陕西 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，MM 是 BCBC 的中点，AM=1AM = 1，点 PP 在 AMAM 上且满足 AP→=2PM→\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{PM}，则 PA→⋅(PB→+PC→)\overrightarrow{PA} \cdot \left(\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}\right) 等于（ ）
A.
−49-\frac{4}{9}
B.
−43-\frac{4}{3}
C.
43\frac{4}{3}
D.
49\frac{4}{9}

2009 · 陕西 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09计数原理与组合数学★★★☆☆
从 00，11，22，33，44，55 这六个数中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）
A.
300300
B.
216216
C.
180180
D.
162162

2009 · 陕西 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★☆☆
若正方体的棱长为 2\sqrt{2}，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（ ）
A.
26\frac{\sqrt{2}}{6}
B.
23\frac{\sqrt{2}}{3}
C.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
D.
23\frac{2}{3}

2009 · 陕西 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11不等式★★★☆☆
若 xx，yy 满足约束条件
{x+y⩾1,x−y⩾−1,2x−y⩽2,\begin{cases} x + y \geqslant 1,\\ x - y \geqslant -1,\\ 2x - y \leqslant 2, \end{cases}
目标函数 z=ax+2yz = ax + 2y 仅在点 (1,0)\left(1,0\right) 处取得最小值，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
(−1,2)\left(-1, 2\right)
B.
(−4,2)\left(-4, 2\right)
C.
(−4,0]\left(-4, 0\right]
D.
(−2,4)\left(-2, 4\right)

2009 · 陕西 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★☆☆
定义在 R\mathbf{R} 上的偶函数 f(x)f\left(x\right) 满足：对任意的 x1,x2∈(−∞,0]x_{1}, x_{2} \in \left(-\infty, 0\right] （x1≠x2x_{1} \neq x_{2}），有 (x2−x1)(f(x2)−f(x1))>0\left(x_{2} - x_{1}\right)\left(f\left(x_{2}\right) - f\left(x_{1}\right)\right) > 0. 则当 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*} 时，有（ ）
A.
f(−n)<f(n−1)<f(n+1)f\left(-n\right) < f\left(n - 1\right) < f\left(n + 1\right)
B.
f(n−1)<f(−n)<f(n+1)f\left(n - 1\right) < f\left(-n\right) < f\left(n + 1\right)
C.
f(n+1)<f(−n)<f(n−1)f\left(n + 1\right) < f\left(-n\right) < f\left(n - 1\right)
D.
f(n+1)<f(n−1)<f(−n)f\left(n + 1\right) < f\left(n - 1\right) < f\left(-n\right)

2009 · 陕西 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13数列★★☆☆☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，若 a6=S3=12a_{6} = S_{3} = 12，则 lim⁡n→∞Snn2=\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{S_n}{n^2} =______

2009 · 陕西 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14集合与逻辑基础★★☆☆☆
某班有 3636 名同学参加数学，物理，化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学，物理，化学小组的人数分别为 2626，1515，1313，同时参加数学和物理小组的有 66 人，同时参加物理和化学小组的有 44 人，同时参加数学和化学小组的有______人.

2009 · 陕西 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★☆☆
如图球 OO 的半径为 22，圆 O1O_{1} 是一小圆，O1O=2O_{1}O = \sqrt{2}，AA，BB 是圆 O1O_{1} 上两点. 若 AA，BB 两点间的球面距离为 2π3\frac{2\pi}{3}，则 ∠AO1B=‾\angle AO_{1}B =\underline{\hspace{2em}}.

2009 · 陕西 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16导数及其应用★★★☆☆
设曲线 y=xn+1y = x^{n + 1}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）在点 (1,1)\left(1,1\right) 处的切线与 xx 轴的交点的横坐标为 xnx_n. 令 an=lg⁡xna_n = \lg x_n，则 a1+a2+⋯+a99a_1 + a_2 + \dots + a_{99} 的值为______.

2009 · 陕西 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=Asin⁡(ωx+φ)f\left(x\right) = A \sin\left(\omega x + \varphi\right)，x∈Rx \in \mathbf{R} （其中 A>0A > 0，ω>0\omega > 0，0<φ<π20 < \varphi < \frac{\pi}{2}）的图象与 xx 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 π2\frac{\pi}{2}，且图象上一个最低点为 M(2π3,−2)M\left(\frac{2\pi}{3}, -2\right).
(1) 求 f(x)f\left(x\right) 的解析式； (2) 当 x∈[π12,π2]x \in \left[\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{2}\right]，求 f(x)f\left(x\right) 的值域.

2009 · 陕西 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，AB=1AB = 1，AC=AA1=3AC = AA_{1} = \sqrt{3}，∠ABC=60∘\angle ABC = 60^{\circ}.
(1) 证明： AB⊥A1CAB \perp A_{1}C； (2) 求二面角 A−A1C−BA - A_{1}C - B 的大小.

2009 · 陕西 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 ξ\xi 表示，据统计，随机变量 ξ\xi 的概率分布如下：
(1) 求 aa 的值和 ξ\xi 的数学期望； (2) 假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率.

2009 · 陕西 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(ax+1)+1−x1+xf\left(x\right) = \ln\left(ax + 1\right) + \frac{1 - x}{1 + x}，x⩾0x \geqslant 0，其中 a>0a > 0.
(1) 若 f(x)f\left(x\right) 在 x=1x = 1 处取得极值，求 aa 的值； (2) 求 f(x)f\left(x\right) 的单调区间； (3) 若 f(x)f\left(x\right) 的最小值为 1，求 aa 的取值范围.

2009 · 陕西 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知双曲线 CC 的方程为 y2a2−x2b2=1\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0），离心率 e=52e = \frac{\sqrt{5}}{2}，顶点到渐近线的距离为 255\frac{2\sqrt{5}}{5}.
(1) 求双曲线 CC 的方程； (2) 如图，PP 是双曲线 CC 上一点，AA，BB 两点在双曲线 CC 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限. 若 AP→=λPB→\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB}，λ∈[13,2]\lambda \in \left[\frac{1}{3}, 2\right]，求 △AOB\triangle AOB 面积的取值范围.

2009 · 陕西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★★
已知数列 {xn}\{x_{n}\} 满足 x1=12x_{1} = \frac{1}{2}，xn+1=11+xnx_{n + 1} = \frac{1}{1 + x_n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 猜想数列 {x2n}\{x_{2n}\} 的单调性，并证明你的结论； (2) 证明： ∣xn+1−xn∣⩽16(25)n−1\left|x_{n+1}-x_{n}\right|\leqslant\frac{1}{6}\left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}.

2009 · 陕西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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