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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 A={−1,1,2,3,5}A=\{-1,1,2,3,5\}，B={2,3,4}B=\{2,3,4\}，C={x∈R∣1≤x<3}C=\{x\in \mathbf{R}\mid 1\le x<3\}，则 (A∩C)∪B=(A\cap C)\cup B=（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
{2}\{2\}
B.
{2,3}\{2,3\}
C.
{−1,2,3}\{-1,2,3\}
D.
{1,2,3,4}\{1,2,3,4\}

2019 · 天津 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02不等式★★☆☆☆
设变量 xx，yy 满足约束条件
{x+y−2≤0,x−y+2≥0,x≥−1,y≥−1,\begin{cases} x+y-2\le 0,\\ x-y+2\ge 0,\\ x\ge -1,\\ y\ge -1, \end{cases}
则目标函数 z=−4x+yz=-4x+y 的最大值为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
22
B.
33
C.
55
D.
66

2019 · 天津 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 x∈Rx\in \mathbf{R}，则“x2−5x<0x^2-5x<0”是“∣x−1∣<1|x-1|<1”的（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2019 · 天津 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出 SS 的值为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
55
B.
88
C.
2424
D.
2929

2019 · 天津 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★★☆☆
已知抛物线 y2=4xy^2=4x 的焦点为 FF，准线为 ll，若 ll 与双曲线 x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的两条渐近线分别交于点 AA 和点 BB，且 ∣AB∣=4∣OF∣|AB|=4|OF|（OO 为原点），则双曲线的离心率为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
2\sqrt2
B.
3\sqrt3
C.
22
D.
5\sqrt5

2019 · 天津 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a=log⁡52a=\log_5 2，b=log⁡0.50.2b=\log_{0.5}0.2，c=0.50.2c=0.5^{0.2}，则 aa，bb，cc 的大小关系为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
A.
a<c<ba<c<b
B.
a<b<ca<b<c
C.
b<c<ab<c<a
D.
c<a<bc<a<b

2019 · 天津 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=Asin⁡(ωx+φ)f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)（A>0A>0，ω>0\omega>0，∣φ∣<π|\varphi|<\pi）是奇函数，将 y=f(x)y=f(x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 22 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 g(x)g(x). 若 g(x)g(x) 的最小正周期为 2π2\pi，且 g ⁣(π4)=2g\!\left( \dfrac{\pi}{4} \right)=\sqrt2，则 f ⁣(3π8)=f\!\left( \dfrac{3\pi}{8} \right)=（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
−2-2
B.
−2-\sqrt2
C.
2\sqrt2
D.
22

2019 · 天津 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08不等式★★★★☆
已知 a∈Ra\in \mathbf{R}，设函数
f(x)={x2−2ax+2a,x≤1,x−aln⁡x,x>1.f(x)=\begin{cases} x^2-2ax+2a, & x\le 1,\\ x-a\ln x, & x>1. \end{cases}
若关于 xx 的不等式 f(x)≥0f(x)\ge 0 在 R\mathbf{R} 上恒成立，则 aa 的取值范围为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
[0,1][0,1]
B.
[0,2][0,2]
C.
[0,e][0,\mathrm{e}]
D.
[1,e][1,\mathrm{e}]

2019 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09复数★☆☆☆☆
i\mathrm{i} 是虚数单位，则 ∣5−i1+i∣=‾\left| \dfrac{5-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}} \right|=\underline{\hspace{2em}}. \begin{answer} 13\sqrt{13} \end{answer}

2019 · 天津 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
(2x−18x3)8\left( 2x-\dfrac{1}{8x^3} \right)^8 的展开式中的常数项为______. \begin{answer} 28 \end{answer}

2019 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11立体几何初步★★★☆☆
已知四棱锥的底面是边长为 2\sqrt2 的正方形，侧棱长均为 5\sqrt5. 若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为______. \begin{answer} π4\dfrac{\pi}{4} \end{answer}

2019 · 天津 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★☆☆☆
设 a∈Ra\in \mathbf{R}，直线 ax−y+2=0ax-y+2=0 和圆
{x=2+2cos⁡θ,y=1+2sin⁡θ\begin{cases} x=2+2\cos\theta,\\ y=1+2\sin\theta \end{cases}
（θ\theta 为参数）相切，则 aa 的值为______. \begin{answer} 34\dfrac34 \end{answer}

2019 · 天津 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13不等式★★★☆☆
设 x>0x>0，y>0y>0，x+2y=5x+2y=5，则 (x+1)(2y+1)xy\dfrac{(x+1)(2y+1)}{\sqrt{xy}} 的最小值为______. \begin{answer} 434\sqrt3 \end{answer}

2019 · 天津 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★★☆☆
在四边形 ABCDABCD 中，AD∥BCAD\parallel BC，AB=23AB=2\sqrt3，AD=5AD=5，∠A=30∘\angle A=30^\circ，点 EE 在线段 CBCB 的延长线上，且 AE=BEAE=BE，则 BD→⋅AE→=‾\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AE}=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} −1-1 \end{answer}

2019 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 已知 b+c=2ab+c=2a，3csin⁡B=4asin⁡C3c\sin B=4a\sin C.
(1) 求 cos⁡B\cos B 的值； (2) 求 sin⁡(2B+π6)\sin \left( 2B+\dfrac{\pi}{6} \right) 的值.

2019 · 天津 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
设甲，乙两位同学上学期间，每天 7:307{:}30 之前到校的概率均为 23\dfrac{2}{3}. 假定甲，乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
(1) 用 XX 表示甲同学上学期间的三天中 7:307{:}30 之前到校的天数，求随机变量 XX 的分布列和数学期望； (2) 设 MM 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7:307{:}30 之前到校的天数比乙同学在 7:307{:}30 之前到校的天数恰好多 22”，求事件 MM 发生的概率.

2019 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，AE⊥AE\perp平面 ABCDABCD，CF∥AECF\parallel AE，AD∥BCAD\parallel BC，AD⊥ABAD\perp AB，AB=AD=1AB=AD=1，AE=BC=2AE=BC=2.
(1) 求证：BF∥BF\parallel平面 ADEADE； (2) 求直线 CECE 与平面 BDEBDE 所成角的正弦值； (3) 若二面角 E−BD−FE-BD-F 的余弦值为 13\dfrac{1}{3}，求线段 CFCF 的长.

2019 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 FF，上顶点为 BB. 已知椭圆的短轴长为 44，离心率为 55\dfrac{\sqrt5}{5}.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设点 PP 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 MM 为直线 PBPB 与 xx 轴的交点，点 NN 在 yy 轴的负半轴上. 若 ∣ON∣=∣OF∣|ON|=|OF|（OO 为原点），且 OP⊥MNOP\perp MN，求直线 PBPB 的斜率.

2019 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是等差数列，{bn}\{b_n\} 是等比数列. 已知 a1=4a_1=4，b1=6b_1=6，b2=2a2−2b_2=2a_2-2，b3=2a3+4b_3=2a_3+4.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 设数列 {cn}\{c_n\} 满足 c1=1c_1=1，
cn={1,2k<n<2k+1,bk,n=2k,c_n=\begin{cases} 1, & 2^k<n<2^{k+1},\\ b_k, & n=2^k, \end{cases}
其中 k∈N∗k\in \mathbf{N}^*.
(i) 求数列 {a2n(c2n−1)}\{a_{2^n}(c_{2^n}-1)\} 的通项公式； (ii) 求 ∑i=12naici\sum_{i=1}^{2^n} a_ic_i（n∈N∗n\in \mathbf{N}^*）.

2019 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=excos⁡xf(x)=\mathrm{e}^x\cos x，g(x)g(x) 为 f(x)f(x) 的导函数.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 当 x∈[π4,π2]x\in \left[ \dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2} \right] 时，证明 f(x)+g(x)(π2−x)≥0f(x)+g(x)\left( \dfrac{\pi}{2}-x \right)\ge 0； (3) 设 xnx_n 为函数 u(x)=f(x)−1u(x)=f(x)-1 在区间 (2nπ+π4,2nπ+π2)\left( 2n\pi+\dfrac{\pi}{4},2n\pi+\dfrac{\pi}{2} \right) 内的零点，其中 n∈Nn\in \mathbf{N}，证明 2nπ+π2−xn<e−2nπsin⁡x0−cos⁡x02n\pi+\dfrac{\pi}{2}-x_n<\dfrac{\mathrm{e}^{-2n\pi}}{\sin x_0-\cos x_0}.

2019 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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