数迹
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01复数★☆☆☆☆
复数 1(1+i)2\frac{1}{(1 + \mathrm{i})^2} 等于（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
−12-\frac{1}{2}
C.
12i\frac{1}{2}\mathrm{i}
D.
−12i-\frac{1}{2}\mathrm{i}

2007 · 福建 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02数列★★☆☆☆
数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，若 an=1n(n+1)a_{n} = \frac{1}{n(n + 1)}，则 S5S_{5} 等于（ ）
A.
11
B.
56\frac{5}{6}
C.
16\frac{1}{6}
D.
130\frac{1}{30}

2007 · 福建 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知集合 A={x∣x<a}A = \{x \mid x < a\}，B={x∣1<x<2}B = \{x \mid 1 < x < 2\}，且 A∪(∁RB)=RA \cup (\complement_{\mathbf{R}} B) = \mathbf{R}，则实数 aa 的取值范围是（ ）
A.
a⩽1a \leqslant 1
B.
a<1a < 1
C.
a⩾2a \geqslant 2
D.
a>2a > 2

2007 · 福建 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04平面向量★★☆☆☆
对于向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 和实数 λ\lambda，下列命题中真命题的是（ ）
A.
若 a⋅b=0\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0，则 a=0\boldsymbol{a} = 0 或 b=0\boldsymbol{b} = 0
B.
若 λa=0\lambda\boldsymbol{a} = 0，则 λ=0\lambda = 0 或 a=0\boldsymbol{a} = 0
C.
若 a2=b2\boldsymbol{a}^2 = \boldsymbol{b}^2，则 a=b\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b} 或 a=−b\boldsymbol{a} = -\boldsymbol{b}
D.
若 a⋅b=a⋅c\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}，则 b=c\boldsymbol{b} = \boldsymbol{c}

2007 · 福建 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(ωx+π3)f(x) = \sin \left( \omega x + \frac{\pi}{3} \right)（ω>0\omega > 0）的最小正周期为 π\pi，则该函数的图象（ ）
A.
关于点 (π3,0)\left(\frac{\pi}{3}, 0\right) 对称
B.
关于直线 x=π4x = \frac{\pi}{4} 对称
C.
关于点 (π4,0)\left(\frac{\pi}{4}, 0\right) 对称
D.
关于直线 x=π3x = \frac{\pi}{3} 对称

2007 · 福建 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06解析几何★★☆☆☆
以双曲线 x29−y216=1\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）
A.
x2+y2−10x+9=0x^{2} + y^{2} - 10x + 9 = 0
B.
x2+y2−10x+16=0x^{2} + y^{2} - 10x + 16 = 0
C.
x2+y2+10x+16=0x^{2} + y^{2} + 10x + 16 = 0
D.
x2+y2+10x+9=0x^{2} + y^{2} + 10x + 9 = 0

2007 · 福建 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(x)f(x) 为 R\mathbf{R} 上的减函数，则满足 f(∣1x∣)<f(1)f\left(\left|\frac{1}{x}\right|\right) < f(1) 的实数 xx 的取值范围是（ ）
A.
(−1,1)(-1, 1)
B.
(0,1)(0,1)
C.
(−1,0)∪(0,1)(-1,0)\cup (0,1)
D.
(−∞,−1)∪(1,+∞)(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)

2007 · 福建 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★☆☆☆
已知 mm，nn 为两条不同的直线，α\alpha，β\beta 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A.
m⊂αm \subset \alpha，n⊂αn \subset \alpha，m∥βm \parallel \beta，n∥β⇒α∥βn \parallel \beta \Rightarrow \alpha \parallel \beta
B.
α∥β\alpha \parallel \beta，m⊂αm \subset \alpha，n⊂β⇒m∥nn \subset \beta \Rightarrow m \parallel n
C.
m⊥αm \perp \alpha，m⊥n⇒n∥αm \perp n \Rightarrow n \parallel \alpha
D.
n∥mn \parallel m，n⊂α⇒m⊥αn \subset \alpha \Rightarrow m \perp \alpha

2007 · 福建 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09计数原理与组合数学★★★☆☆
把 1+(1+x)+(1+x)2+⋯+(1+x)n1 + (1 + x) + (1 + x)^2 + \cdots + (1 + x)^n 展开成关于 xx 的多项式，其各项系数和为 ana_n，则 lim⁡n→∞2an−1an+1\lim\limits_{n \to \infty} \frac{2a_n - 1}{a_n + 1} 等于（ ）
A.
14\frac{1}{4}
B.
12\frac{1}{2}
C.
11
D.
22

2007 · 福建 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★☆☆
顶点在同一球面上的正四棱柱 ABCD−A′B′C′D′ABCD - A'B'C'D' 中，AB=1AB = 1，AA′=2AA' = \sqrt{2}，则 AA，CC 两点间的球面距离为（ ）
A.
π4\frac{\pi}{4}
B.
π2\frac{\pi}{2}
C.
24π\frac{\sqrt{2}}{4}\pi
D.
22π\frac{\sqrt{2}}{2}\pi

2007 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★☆☆
已知对任意实数 xx，有 f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)，g(−x)=g(x)g(-x) = g(x)，且 x>0x > 0 时，f′(x)>0f'(x) > 0，g′(x)>0g'(x) > 0，则 x<0x < 0 时，（ ）
A.
f′(x)>0f'(x) > 0，g′(x)>0g'(x) > 0
B.
f′(x)>0f^{\prime}(x) > 0，g′(x)<0g^{\prime}(x) < 0
C.
f′(x)<0f^{\prime}(x) < 0，g′(x)>0g^{\prime}(x) > 0
D.
f′(x)<0f^{\prime}(x) < 0，g′(x)<0g^{\prime}(x) < 0

2007 · 福建 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★★☆☆
将 99 个数 aija_{ij}（i=1i = 1，22，33，j=1j = 1，22，33）排成三行三列的方阵，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）
A.
37\frac{3}{7}
B.
47\frac{4}{7}
C.
114\frac{1}{14}
D.
1314\frac{13}{14}

2007 · 福建 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13不等式★★☆☆☆
已知实数 xx，yy 满足
{x+y⩾2,x−y⩽2,0⩽y⩽3,\begin{cases} x + y \geqslant 2,\\ x - y \leqslant 2,\\ 0 \leqslant y \leqslant 3, \end{cases}
则 z=2x−yz = 2x - y 的取值范围是______.

2007 · 福建 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
已知正方形 ABCDABCD，则以 AA，BB 为焦点，且过 CC，DD 两点的椭圆的离心率为______.

2007 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15概率与统计★★☆☆☆
两封信随机投入 AA，BB，CC 三个空邮箱，则 AA 邮箱的信件数 ξ\xi 的数学期望 E(ξ)=‾E(\xi) =\underline{\hspace{2em}}.

2007 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16集合与逻辑基础★★★☆☆
中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”，“平行关系”等等. 如果集合 AA 中元素之间的一个关系“∼\sim”满足以下三个条件：
① 自反性：对于任意 a∈Aa \in A，都有 a∼aa \sim a； ② 对称性：对于 aa，b∈Ab \in A，若 a∼ba \sim b，则有 b∼ab \sim a； ③ 传递性：对于 aa，bb，c∈Ac \in A，若 a∼ba \sim b，b∼cb \sim c，则有 a∼ca \sim c.
则称“∼\sim”是集合 AA 的一个等价关系. 例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）. 请你再列出三个等价关系：______.

2007 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，tan⁡A=14\tan A = \frac{1}{4}，tan⁡B=35\tan B = \frac{3}{5}.
(1) 求角 CC 的大小； (2) 若 ABAB 边的长为 17\sqrt{17}，求 BCBC 边的长.

2007 · 福建 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 的所有棱长都为 22，DD 为 CC1CC_{1} 中点.
(1) 求证：AB1⊥AB_{1} \perp 平面 A1BDA_{1}BD； (2) 求二面角 A−A1D−BA - A_1D - B 的大小； (3) 求点 CC 到平面 A1BDA_{1}BD 的距离.

2007 · 福建 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 3 元3\text{ 元}，并且每件产品需向总公司交 a 元a\text{ 元}（3⩽a⩽53 \leqslant a \leqslant 5）的管理费，预计当每件产品的售价为 x 元x\text{ 元}（9⩽x⩽119 \leqslant x \leqslant 11）时，一年的销售量为 (12−x)2 万件(12 - x)^{2}\text{ 万件}.
(1) 求分公司一年的利润 LL（万元）与每件产品的售价 xx 的函数关系式； (2) 当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 LL 最大？并求出 LL 的最大值 Q(a)Q(a).

2007 · 福建 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
如图，已知点 F(1,0)F(1,0)，直线 ll：x=−1x = -1，PP 为平面上的动点. 过 PP 作直线 ll 的垂线，垂足为点 QQ，且 QP→⋅QF→=FP→⋅FQ→\overrightarrow{QP} \cdot \overrightarrow{QF} = \overrightarrow{FP} \cdot \overrightarrow{FQ}.
(1) 求动点 PP 的轨迹 CC 的方程； (2) 过点 FF 的直线交轨迹 CC 于 AA，BB 两点，交直线 ll 于点 MM，已知 MA→=λ1AF→\overrightarrow{MA} = \lambda_1 \overrightarrow{AF}，MB→=λ2BF→\overrightarrow{MB} = \lambda_2 \overrightarrow{BF}，求 λ1+λ2\lambda_1 + \lambda_2 的值.

2007 · 福建 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★☆☆
等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，a1=1+2a_{1} = 1 + \sqrt{2}，S3=9+32S_{3} = 9 + 3\sqrt{2}.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项 ana_{n} 与前 nn 项和为 SnS_{n}； (2) 设 bn=Snnb_{n} = \frac{S_{n}}{n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*），求证：数列 {bn}\{b_{n}\} 中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

2007 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−kxf(x) = \mathrm{e}^{x} - kx，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 若 k=ek = \mathrm{e}，试确定函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若 k>0k > 0，且对于任意 x∈Rx \in \mathbf{R}，f(∣x∣)>0f(|x|) > 0 恒成立，试确定实数 kk 的取值范围； (3) 设函数 F(x)=f(x)+f(−x)F(x) = f(x) + f(-x)，求证：F(1)F(2)⋯F(n)>(en+1+2)n2F(1)F(2)\cdots F(n) > (\mathrm{e}^{n+1} + 2)^{\frac{n}{2}}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）.

2007 · 福建 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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