$\left(x^2-\frac{1}{2x}\right)^9$ 的展开式中 $x^9$ 的系数是______.

\begin{solution} 设二项式通项中取 $k$ 个 $-\frac{1}{2x}$，则该项为 要得到 $x^9$，必须满足 $18-3k=9$，所以 $k=3$. 因此 $x^9$ 的系数为 \end{solution}

如图，一个地区分为 $5$ 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有 $4$ 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______种.

\begin{solution} 先给中心区域 $1$ 着色，有 $4$ 种方法. 中心区域确定后，外围区域 $2$，$3$，$4$，$5$ 只能使用其余 $3$ 种颜色，且按环状相邻的区域不能同色.

若区域 $2$ 与区域 $4$ 同色，则共有 $3$ 种选择该共同颜色的方法；区域 $3$ 和区域 $5$ 都可分别从剩余的 $2$ 种颜色中选择，因此有 $3\times2\times2=12$ 种. 若区域 $2$ 与区域 $4$ 异色，则先选区域 $2$ 和区域 $4$ 有 $3\times2$ 种方法，此时区域 $3$ 和区域 $5$ 都只能使用剩下的第 $3$ 种颜色，因此有 $3\times2=6$ 种. 所以外围区域的着色方法数为 所以总着色方法数为 \end{solution}