设函数 若 $f(x_0)>1$，则 $x_0$ 的取值范围是（ ）

\begin{solution} 当 $x\leqslant0$ 时，$f(x)=2^{-x}-1$. 由 $f(x)>1$，得 $2^{-x}>2$，所以 $-x>1$，即 $x<-1$.

当 $x>0$ 时，$f(x)=\sqrt{x}$. 由 $f(x)>1$，得 $\sqrt{x}>1$，所以 $x>1$. 综上，$x_0\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$，故选 D. \end{solution}

已知 $f(x^5)=\lg x$，则 $f(2)=$（ ）

\begin{solution} 令 $x^5=2$，则 $x=\sqrt[5]{2}>0$. 由题设， 故选 D. \end{solution}

函数 $y=\sin(x+\varphi)$（$0\leqslant\varphi\leqslant\pi$）是 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，则 $\varphi=$（ ）

\begin{solution} 将函数展开，得 其中 $\sin x$ 是奇函数，$\cos x$ 是偶函数. 要使 $f(x)$ 为偶函数，必须有 $\cos\varphi=0$. 结合 $0\leqslant\varphi\leqslant\pi$，得 $\varphi=\frac\pi2$，故选 C. \end{solution}

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 $O$（如图）的东偏南 $\theta$（$\cos\theta=\frac{\sqrt2}{10}$）方向 $300 \mathrm{~km}$ 的海面 $P$ 处，并以 $20 \mathrm{~km}/\mathrm{h}$ 的速度向西偏北 $45^{\circ}$ 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域. 当前半径为 $60 \mathrm{~km}$，并以 $10 \mathrm{~km}/\mathrm{h}$ 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

\begin{solution} 以城市 $O$ 为原点，正东方向为 $x$ 轴正方向，正北方向为 $y$ 轴正方向，时间 $t$ 的单位取小时. 台风中心的初始坐标为 $P_0=\left(300\cos\theta,-300\sin\theta\right)$. 因为 $\theta$ 为东偏南角，且 $\cos\theta=\frac{\sqrt2}{10}$，所以 从而 $P_0=\left(30\sqrt2,-210\sqrt2\right)$. 台风向西偏北 $45^{\circ}$ 方向以 $20 \mathrm{~km}/\mathrm{h}$ 移动，所以 $t$ 小时后的中心坐标为 $P(t)=\left(30\sqrt2-10\sqrt2t,-210\sqrt2+10\sqrt2t\right)$. 此时台风半径为 $r(t)=60+10t$（$\mathrm{km}$）. 城市开始受到侵袭的临界条件是 $OP(t)=r(t)$. 计算得 因此临界时刻满足 即 解得 $t=12$ 或 $t=24$. 由于 $t=0$ 时 $OP(0)=300>60=r(0)$，第一次相切发生在 $t=12$ 时，所以 $12$ 小时后该城市开始受到台风的侵袭. \end{solution}