等差数列 $\{a_n\}$ 中，已知 $a_1=\frac13$，$a_2+a_5=4$，$a_n=33$，则 $n$ 为（ ）

\begin{solution} 设等差数列的公差为 $d$. 由 $a_2+a_5=4$，得 解得 $d=\frac23$. 因而 由 $a_n=33$，得 $\frac{2n-1}{3}=33$，所以 $n=50$，故选 C. \end{solution}

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_n=3^{n-1}+a_{n-1}$（$n\geqslant2$）.

(1) 求 $a_2$，$a_3$； (2) 证明：$a_n=\frac{3^n-1}{2}$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由递推关系，$a_2=3^1+a_1=3+1=4$，$a_3=3^2+a_2=9+4=13$.

\item 当 $n\geqslant2$ 时，递推关系可写为 $a_n-a_{n-1}=3^{n-1}$. 逐项相加，得 等比数列求和得 当 $n=1$ 时，右式为 $\frac{3-1}{2}=1=a_1$，故结论对所有 $n\geqslant1$ 成立. \end{enumerate} \end{solution}