已知 $x\in\left(-\frac{\pi}{2},0\right)$，$\cos x=\frac45$，则 $\tan 2x=$（ ）

\begin{solution} 由 $x\in\left(-\frac{\pi}{2},0\right)$ 可知 $\sin x<0$，因此 $\sin x=-\sqrt{1-\cos ^2x}=-\frac35$，从而 $\tan x=-\frac34$. 所以 故选 D. \end{solution}

双曲线虚轴的一个端点为 $M$，两个焦点为 $F_1$，$F_2$，$\angle F_1MF_2=120^{\circ}$，则双曲线的离心率为（ ）

\begin{solution} 设双曲线的实半轴长、虚半轴长和焦半距分别为 $a$，$b$，$c$，则 $c^2=a^2+b^2$. 由于 $M$ 是虚轴端点，所以 $MF_1=MF_2=\sqrt{b^2+c^2}$，$F_1F_2=2c$. 在三角形 $F_1MF_2$ 中，由余弦定理得 于是 $c^2=3b^2$，从而 $a^2=c^2-b^2=2b^2$. 因此双曲线的离心率为 故选 B. \end{solution}

函数 $y=\sin(x+\varphi)$（$0\leqslant\varphi\leqslant\pi$）是 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，则 $\varphi=$（ ）

\begin{solution} 将函数展开，得 其中 $\sin x$ 是奇函数，$\cos x$ 是偶函数. 要使 $f(x)$ 为偶函数，必须有 $\cos\varphi=0$. 结合 $0\leqslant\varphi\leqslant\pi$，得 $\varphi=\frac\pi2$，故选 C. \end{solution}

已知函数 $f(x)=2\sin x(\sin x+\cos x)$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期和最大值； (2) 在给出的直角坐标系中，画出函数 $y=f(x)$ 在区间 $\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ 上的图象.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由二倍角公式， 因此函数的最小正周期为 且因为正弦函数的最大值为 $1$，所以 $f(x)$ 的最大值为 $1+\sqrt2$.

\item 直接代入可得 $f\left(-\frac\pi2\right)=2$，$f\left(-\frac\pi4\right)=0$，$f\left(-\frac\pi8\right)=1-\sqrt2$，$f(0)=0$，$f\left(\frac\pi4\right)=2$，$f\left(\frac{3\pi}{8}\right)=1+\sqrt2$，$f\left(\frac\pi2\right)=2$. 因而函数图象经过点 $\left(-\frac\pi2,2\right)$，$\left(-\frac\pi4,0\right)$，$\left(-\frac\pi8,1-\sqrt2\right)$，$(0,0)$，$\left(\frac\pi4,2\right)$，$\left(\frac{3\pi}{8},1+\sqrt2\right)$，$\left(\frac\pi2,2\right)$. 又 在给定区间内，导数在 $\left[-\frac\pi2,-\frac\pi8\right]$ 上小于等于 $0$，在 $\left[-\frac\pi8,\frac{3\pi}{8}\right]$ 上大于等于 $0$，在 $\left[\frac{3\pi}{8},\frac\pi2\right]$ 上小于等于 $0$. 所以函数先递减、再递增、后递减；在坐标系中标出上述各点并按此单调性用光滑曲线连接，即得所求图象. \end{enumerate} \end{solution}

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 $O$（如图）的东偏南 $\theta$（$\cos\theta=\frac{\sqrt2}{10}$）方向 $300 \mathrm{~km}$ 的海面 $P$ 处，并以 $20 \mathrm{~km}/\mathrm{h}$ 的速度向西偏北 $45^{\circ}$ 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域. 当前半径为 $60 \mathrm{~km}$，并以 $10 \mathrm{~km}/\mathrm{h}$ 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

\begin{solution} 以城市 $O$ 为原点，正东方向为 $x$ 轴正方向，正北方向为 $y$ 轴正方向，时间 $t$ 的单位取小时. 台风中心的初始坐标为 $P_0=\left(300\cos\theta,-300\sin\theta\right)$. 因为 $\theta$ 为东偏南角，且 $\cos\theta=\frac{\sqrt2}{10}$，所以 从而 $P_0=\left(30\sqrt2,-210\sqrt2\right)$. 台风向西偏北 $45^{\circ}$ 方向以 $20 \mathrm{~km}/\mathrm{h}$ 移动，所以 $t$ 小时后的中心坐标为 $P(t)=\left(30\sqrt2-10\sqrt2t,-210\sqrt2+10\sqrt2t\right)$. 此时台风半径为 $r(t)=60+10t$（$\mathrm{km}$）. 城市开始受到侵袭的临界条件是 $OP(t)=r(t)$. 计算得 因此临界时刻满足 即 解得 $t=12$ 或 $t=24$. 由于 $t=0$ 时 $OP(0)=300>60=r(0)$，第一次相切发生在 $t=12$ 时，所以 $12$ 小时后该城市开始受到台风的侵袭. \end{solution}