设 $D$ 是 $\mathbf{R}$ 的一个非空子集，$y=f(x)$ 是定义在 $D$ 上的函数. 对于点 $M(a,b)$，记 $s(x)=(x-a)^2+\left( f(x)-b \right)^2$. 若对于点 $P(x_0,f(x_0))$，函数 $y=s(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得最小值，则称 $P$ 是 $M$ 的 $f$ 最近点.

(1) 对于 $f(x)=\frac{1}{x}$，$M(0,0)$，$D=(0,+\infty)$，求证：存在 $M$ 的 $f$ 最近点； (2) 对于 $f(x)=\mathrm{e}^x$，$M(1,0)$，$D=\mathbf{R}$，若曲线 $y=f(x)$ 上一点 $P$ 满足 $MP$ 垂直于 $y=f(x)$ 在点 $P(x_0,f(x_0))$ 处的切线，则 $P$ 是否为 $M$ 的 $f$ 最近点？ (3) 已知 $D=\mathbf{R}$，$y=f(x)$ 的导函数为 $y=f'(x)$，且 $y=g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上的函数值恒正. 对任意 $t\in \mathbf{R}$，点 $M_1$ 的坐标为 $(t-1,f(t)-g(t))$，点 $M_2$ 的坐标为 $(t+1,f(t)+g(t))$. 若对任意的 $t\in \mathbf{R}$，总存在 $y=f(x)$ 上一点 $P$，使得 $P$ 既是 $M_1$ 的 $f$ 最近点，又是 $M_2$ 的 $f$ 最近点，试求 $y=f(x)$ 的单调性.