已知函数 $f(x) = x - \ln (x + a)$ 的最小值为 0，其中 $a > 0$.

(1) 求 $a$ 的值； (2) 若对任意的 $x \in [0, +\infty)$，有 $f(x) \leqslant kx^2$ 成立. 求实数 $k$ 的最小值； (3) 证明：$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{2}{2i-1} - \ln(2n+1) < 2$（$n \in \mathbf{N}^*$）.