一个几何体的三视图如图所示（单位：$\mathrm{m}$），则该几何体的体积为______$\mathrm{m}^3$.

如图，已知 $AB$ 和 $AC$ 是圆的两条弦，过点 $B$ 作圆的切线与 $AC$ 的延长线相交于点 $D$. 过点 $C$ 作 $BD$ 的平行线与圆相交于点 $E$，与 $AB$ 相交于点 $F$，$AF = 3$，$FB = 1$，$EF = \frac{3}{2}$，则线段 $CD$ 的长为______.

如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中，$PA \perp$ 平面 $ABCD$，$AC \perp AD$，$AB \perp BC$，$\angle BAC = 45^{\circ}$，$PA = AD = 2$，$AC = 1$.

(1) 证明 $PC \perp AD$； (2) 求二面角 $A - PC - D$ 的正弦值； (3) 设 $E$ 为棱 $PA$ 上的点，满足异面直线 $BE$ 与 $CD$ 所成的角为 $30^{\circ}$，求 $AE$ 的长.