如图, 在四棱锥 $P-ABCD$ 中, 底面 $ABCD$ 是边长为 $4$ 的正方形, $PA = PB = 4, PC = PD = 2\sqrt{2}$。该棱锥的高为 $(\quad)$

汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器, 其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱。若升、斗、斛量器的容积成公比为 $10$ 的等比数列, 底面直径依次为 $65\text{ mm}, 325\text{ mm}, 325\text{ mm}$, 且斛量器的高为 $230\text{ mm}$, 则斗量器的高为 ______ $\text{mm}$, 升量器的高为 ______ $\text{mm}$。(不计量器的厚度)

如图, 在四棱锥 $P-ABCD$ 中, $BC \parallel AD, AB = BC = 1, AD = 3$。点 $E$ 在 $AD$ 上, 且 $PE \perp AD, PE = DE = 2$。

(1) 若 $F$ 为线段 $PE$ 的中点, 求证: $BF \parallel$ 平面 $PCD$;

(2) 若 $AB \perp$ 平面 $PAD$, 求平面 $PAB$ 与平面 $PCD$ 夹角的余弦值。