已知平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta$，$\alpha \cap \beta = l$，点 $A \in \alpha$，$A \notin l$，直线 $AB \parallel l$，直线 $AC \perp l$，直线 $m \parallel \alpha$，$m \parallel \beta$，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）

一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面. 已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为 $\sqrt{3}$，底面周长为 $3$，则这个球的体积为______.

如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图. 它的正视图和侧视图在下面画出（单位：$\mathrm{cm}$）.

(1) 在正视图下面，按照三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2) 按照给出的尺寸，求该多面体的体积； (3) 在所给直观图中连结 $BC'$，证明：$BC' \parallel$ 面 $EFG$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 俯视图的外轮廓为长 $6\,\mathrm{cm}$、宽 $4\,\mathrm{cm}$ 的矩形. 在俯视图中，从顶点 $A$ 出发，分别在 $AB$、$AD$ 上取距 $A$ 为 $2\,\mathrm{cm}$ 的点，记为 $F$、$G$，连接这两点得到线段 $FG$. 其中 $F$、$G$ 分别是空间点 $F$、$G$ 的投影，线段 $FG$ 表示截去部分与顶面交界的投影.

\item 建立空间直角坐标系，取 $A(0,0,0)$，$B(6,0,0)$，$D(0,4,0)$，$A'(0,0,4)$. 于是长方体的长、宽、高分别为 $6\,\mathrm{cm}$、$4\,\mathrm{cm}$、$4\,\mathrm{cm}$. 由正视图和侧视图中的尺寸，切去的角为三棱锥 $A'EFG$，且 $A'E=A'F=A'G=2\,\mathrm{cm}$， 其中 $A'E$、$A'F$、$A'G$ 分别位于长方体的三条互相垂直的棱上. 因此 $V_{\text{长方体}}=6\times4\times4=96\,\mathrm{cm}^{3}$，$V_{A'EFG}=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times2\times2\times2=\frac{4}{3}\,\mathrm{cm}^{3}$. 所以该多面体的体积为

\item 在上述坐标系中，相关点的坐标为 $B(6,0,0)$，$C'(6,4,4)$，$E(0,0,2)$，$F(2,0,4)$，$G(0,2,4)$. 于是 $\overrightarrow{BC'}=(0,4,4)=2(0,2,2)=2\overrightarrow{EG}$，所以 $BC'\parallel EG$. 又由 $\overrightarrow{EF}=(2,0,2)$，$\overrightarrow{EG}=(0,2,2)$，平面 $EFG$ 的方程为 $x+y-z+2=0$，而 $6+0-0+2=8\ne0$，故点 $B$ 不在该平面上. 因此 $BC'\parallel$ 平面 $EFG$. \end{enumerate} \end{solution}