若抛物线 $y^{2} = 2px$ 的焦点与椭圆 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为______.

\begin{answer} $x=-2$ \end{answer}

\begin{solution} 椭圆的焦半距满足 $c^2=9-5=4$，故右焦点为 $(2,0)$. 对抛物线 $y^2=2px$，焦点为 $\left(\dfrac p2,0\right)$，准线为 $x=-\dfrac p2$. 由焦点重合得 $\dfrac p2=2$，所以 $p=4$，准线方程为 $x=-2$. \end{solution}

已知曲线 $C: x = -\sqrt{4 - y^2}$，直线 $l: x = 6$. 若对于点 $A(m,0)$，存在 $C$ 上的点 $P$ 和 $l$ 上的 $Q$ 使得 $\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{0}$，则 $m$ 的取值范围为______.

\begin{answer} $[2,3]$ \end{answer}

\begin{solution} 设 $P=(x,y)$，则由曲线方程知 $-2\leqslant x\leqslant0$，且 $Q$ 在直线 $x=6$ 上. 向量等式等价于 $P+Q=2A=(2m,0)$，所以 $Q=(6,-y)$，并且 $2m=x+6$. 因此 $m=\dfrac{x+6}{2}$，随 $x\in[-2,0]$ 取遍 $[2,3]$. 反过来，左半圆上每个 $x\in[-2,0]$ 都有相应的 $y$，故区间内每个 $m$ 都能实现，所求范围为 $[2,3]$. \end{solution}

已知 $P_{1}(a_{1}, b_{1})$ 与 $P_{2}(a_{2}, b_{2})$ 是直线 $y = kx + 1$（$k$ 为常数）上两个不同的点，则关于 $x$ 和 $y$ 的方程组 的解的情况是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 由 $P_i$ 在直线 $y=kx+1$ 上，有 $b_i=ka_i+1$（$i=1$，$2$）. 方程组的系数行列式为 $a_1b_2-a_2b_1=a_1(ka_2+1)-a_2(ka_1+1)=a_1-a_2$. 若 $a_1=a_2$，则由同一直线方程可得 $b_1=b_2$，与两点不同矛盾，因此 $a_1-a_2\ne0$. 系数行列式非零，方程组始终有唯一解，选 B. \end{solution}

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，对于直线 $l: ax + by + c = 0$ 和点 $P_{1}(x_{1}, y_{1})$，$P_{2}(x_{2}, y_{2})$，记 $\eta = (ax_{1} + by_{1} + c)(ax_{2} + by_{2} + c)$. 若 $\eta < 0$，则称点 $P_{1}$，$P_{2}$ 被直线 $l$ 分隔. 若曲线 $C$ 与直线 $l$ 没有公共点，且曲线 $C$ 上存在点 $P_{1}$，$P_{2}$ 被直线 $l$ 分隔，则称直线 $l$ 为曲线 $C$ 的一条分隔线.

(1) 求证：点 $A(1,2)$，$B(-1,0)$ 被直线 $x + y - 1 = 0$ 分隔； (2) 若直线 $y = kx$ 是曲线 $x^2 - 4y^2 = 1$ 的分隔线，求实数 $k$ 的取值范围； (3) 动点 $M$ 到点 $Q(0,2)$ 的距离与到 $y$ 轴的距离之积为 $1$，设点 $M$ 的轨迹为 $E$. 求 $E$ 的方程，并证明 $y$ 轴为曲线 $E$ 的分隔线.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 对直线 $x+y-1=0$，分别计算得 $1+2-1=2$、$-1+0-1=-2$，两者乘积为 $-4<0$，所以点 $A$、$B$ 被该直线分隔. \item 将直线 $y=kx$ 代入曲线方程，得 $(1-4k^2)x^2=1$. 直线与曲线没有公共点的充要条件是 $1-4k^2\leqslant0$，即 $|k|\geqslant\dfrac12$. 当 $|k|\geqslant\dfrac12$ 时，曲线上两点 $(1,0)$、$(-1,0)$ 对直线 $y-kx=0$ 的代数式值分别为 $-k$、$k$，其乘积为 $-k^2<0$，所以确实存在被直线分隔的两点. 因此 $k\in\left(-\infty,-\dfrac12\right]\cup\left[\dfrac12,+\infty\right)$. \item 设 $M=(x,y)$. 到点 $Q(0,2)$ 的距离为 $\sqrt{x^2+(y-2)^2}$，到 $y$ 轴的距离为 $|x|$. 由题意得 $|x|\sqrt{x^2+(y-2)^2}=1$. 两边均非负，平方后得到轨迹方程 $\bigl(x^2+(y-2)^2\bigr)x^2=1$. $y$ 轴的方程为 $x=0$，代入上述方程得 $0=1$，所以 $y$ 轴与曲线 $E$ 没有公共点. 又 $(1,2)$、$(-1,2)$ 均满足曲线方程，而它们代入直线 $x=0$ 的代数式所得值为 $1$、$-1$，乘积小于零，因此这两点被 $y$ 轴分隔，故 $y$ 轴是曲线 $E$ 的分隔线. \end{enumerate} \end{solution}