设常数 $a \in \mathbf{R}$，函数 $f(x) = |x - 1| + |x^2 - a|$，若 $f(2) = 1$，则 $f(1) =$______.

\begin{answer} $3$ \end{answer}

\begin{solution} 由 $f(2)=|2-1|+|4-a|=1+|4-a|=1$，得 $|4-a|=0$，所以 $a=4$. 因此 $f(1)=|1-1|+|1-4|=3$. \end{solution}

若实数 $x$，$y$ 满足 $xy = 1$，则 $x^2 + 2y^2$ 的最小值为______.

\begin{answer} $2\sqrt{2}$ \end{answer}

\begin{solution} 由 $xy=1$ 知 $x\ne0$，且 $y^2=\dfrac{1}{x^2}$. 令 $u=x^2>0$，则 $x^2+2y^2=u+\dfrac{2}{u}\geqslant2\sqrt{2}$，其中等号成立当且仅当 $u=\sqrt2$. 此时可取 $x=2^{\frac{1}{4}}$、$y=2^{-\frac{1}{4}}$，满足 $xy=1$，所以最小值为 $2\sqrt2$. \end{solution}

设 若 $f(0)$ 是 $f(x)$ 的最小值，则 $a$ 的取值范围为______.

\begin{answer} $\left[0,2\right]$ \end{answer}

\begin{solution} 有 $f(0)=a^2$. 若 $a<0$，则点 $x=a\leqslant0$ 属于第一段定义域，且 $f(a)=0<a^2=f(0)$，不合题意，所以必须有 $a\geqslant0$. 此时对任意 $x\leqslant0$，有 $a-x\geqslant a$，从而 $f(x)=(a-x)^2\geqslant a^2=f(0)$. 对任意 $x>0$，由基本不等式得 $x+\dfrac1x+a\geqslant2+a$，且在 $x=1$ 时取等号. 因而 $f(0)$ 为全局最小值的充要条件是 $a^2\leqslant a+2$. 联立 $a\geqslant0$，得 $(a-2)(a+1)\leqslant0$，所以 $0\leqslant a\leqslant2$. \end{solution}

若 $f(x) = x^{\frac{2}{3}} - x^{-\frac{1}{2}}$，则满足 $f(x) < 0$ 的 $x$ 的取值范围是______.

\begin{answer} $\left(0,1\right)$ \end{answer}

\begin{solution} 由于含有 $x^{-\frac{1}{2}}=\dfrac1{\sqrt x}$，函数定义域为 $x>0$. 在此范围内，$f(x)<0$ 等价于 $x^{\frac{2}{3}}<x^{-\frac{1}{2}}$. 两边同乘正数 $x^{\frac{1}{2}}$，得 $x^{\frac{7}{6}}<1$，所以 $0<x<1$. \end{solution}

已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{1}{3} a_{n} \leqslant a_{n+1} \leqslant 3a_{n}$，$n \in \mathbf{N}^{*}$，$a_{1} = 1$.

(1) 若 $a_{2} = 2$，$a_{3} = x$，$a_{4} = 9$，求 $x$ 的取值范围； (2) 若 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，且 $a_{m} = \frac{1}{1000}$，求正整数 $m$ 的最小值，以及 $m$ 取最小值时相应 $\{a_{n}\}$ 的公比； (3) 若 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_{100}$ 成等差数列，求 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_{100}$ 的公差的取值范围.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 $n=2$ 时的不等式，得 $\dfrac23\leqslant x\leqslant6$. 由 $n=3$ 时的不等式，得 $\dfrac x3\leqslant9\leqslant3x$，即 $3\leqslant x\leqslant27$. 两个范围取交集，得到 $x\in[3,6]$. \item 设公比为 $q$. 由 $n=1$ 时的条件，$\dfrac13\leqslant q\leqslant3$，所以 $q>0$. 因为 $a_1=1$，有 $a_m=q^{m-1}=10^{-3}$，故 $q=10^{-\frac{3}{(m-1)}}$. 条件 $q\geqslant\dfrac13$ 等价于 $10^{\frac{3}{(m-1)}}\leqslant3$. 当 $m=7$ 时，$q=10^{-\frac{1}{2}}<\dfrac13$，不满足条件；当 $m=8$ 时，$q=10^{-\frac{3}{7}}>\dfrac13$，且 $q<1<3$，满足上界条件. 因为 $10^{-\frac{3}{(m-1)}}$ 随正整数 $m$ 增大而增大，故 $m=7$ 不可而 $m=8$ 可行，最小值为 $8$，相应公比为 $q=10^{-\frac{3}{7}}$. \item 设公差为 $d$，则 $a_n=1+(n-1)d$. 对 $n=1$，$2$，$\ldots$，$99$，原条件分别等价于 $a_n+d\geqslant\dfrac{a_n}{3}$ 和 $a_n+d\leqslant3a_n$. 代入 $a_n$ 后，前一个不等式化为 $(2n+1)d\geqslant-2$，即 $d\geqslant-\dfrac{2}{2n+1}$；后一个不等式化为 $(3-2n)d\leqslant2$. 当 $n=1$ 时给出 $d\leqslant2$，当 $n\geqslant2$ 时给出 $d\geqslant-\dfrac{2}{2n-3}$. 前一组下界中，$2n+1$ 随 $n$ 增大而增大，故最强条件来自 $n=99$，即 $d\geqslant-\dfrac{2}{199}$. 对 $n\geqslant2$，有 $2n-3<2n+1$，从而 $-\dfrac{2}{2n-3}< -\dfrac{2}{2n+1}$，所以后一组下界不比前一组的最强下界严格. 综合得公差范围为 $d\in\left[-\dfrac{2}{199},2\right]$. 代回上述两组不等式可知该范围内各不等式均成立，所以这是充要范围. \end{enumerate} \end{solution}