设无穷等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$，若 $a_{1} = \lim\limits_{n\to \infty}(a_{3} + a_{4} + \dots + a_{n})$，则 $q =\underline{\hspace{2em}}$.

\begin{answer} $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ \end{answer}

\begin{solution} 按非零首项的无穷等比数列定义，尾项和存在必须有 $|q|<1$. 由等比数列求和公式， $\lim\limits_{n\to\infty}(a_3+a_4+\cdots+a_n)=\dfrac{a_1q^2}{1-q}$. 与题设相等并约去非零的 $a_1$，得 $1=\dfrac{q^2}{1-q}$，即 $q^2+q-1=0$. 解得 $q=\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2}$，其中只有 $\dfrac{\sqrt5-1}{2}$ 满足 $|q|<1$，故所求为 $\dfrac{\sqrt5-1}{2}$. \end{solution}

已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{1}{3} a_{n} \leqslant a_{n+1} \leqslant 3a_{n}$，$n \in \mathbf{N}^{*}$，$a_{1} = 1$.

(1) 若 $a_{2} = 2$，$a_{3} = x$，$a_{4} = 9$，求 $x$ 的取值范围； (2) 若 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，且 $a_{m} = \frac{1}{1000}$，求正整数 $m$ 的最小值，以及 $m$ 取最小值时相应 $\{a_{n}\}$ 的公比； (3) 若 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_{100}$ 成等差数列，求 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_{100}$ 的公差的取值范围.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 $n=2$ 时的不等式，得 $\dfrac23\leqslant x\leqslant6$. 由 $n=3$ 时的不等式，得 $\dfrac x3\leqslant9\leqslant3x$，即 $3\leqslant x\leqslant27$. 两个范围取交集，得到 $x\in[3,6]$. \item 设公比为 $q$. 由 $n=1$ 时的条件，$\dfrac13\leqslant q\leqslant3$，所以 $q>0$. 因为 $a_1=1$，有 $a_m=q^{m-1}=10^{-3}$，故 $q=10^{-\frac{3}{(m-1)}}$. 条件 $q\geqslant\dfrac13$ 等价于 $10^{\frac{3}{(m-1)}}\leqslant3$. 当 $m=7$ 时，$q=10^{-\frac{1}{2}}<\dfrac13$，不满足条件；当 $m=8$ 时，$q=10^{-\frac{3}{7}}>\dfrac13$，且 $q<1<3$，满足上界条件. 因为 $10^{-\frac{3}{(m-1)}}$ 随正整数 $m$ 增大而增大，故 $m=7$ 不可而 $m=8$ 可行，最小值为 $8$，相应公比为 $q=10^{-\frac{3}{7}}$. \item 设公差为 $d$，则 $a_n=1+(n-1)d$. 对 $n=1$，$2$，$\ldots$，$99$，原条件分别等价于 $a_n+d\geqslant\dfrac{a_n}{3}$ 和 $a_n+d\leqslant3a_n$. 代入 $a_n$ 后，前一个不等式化为 $(2n+1)d\geqslant-2$，即 $d\geqslant-\dfrac{2}{2n+1}$；后一个不等式化为 $(3-2n)d\leqslant2$. 当 $n=1$ 时给出 $d\leqslant2$，当 $n\geqslant2$ 时给出 $d\geqslant-\dfrac{2}{2n-3}$. 前一组下界中，$2n+1$ 随 $n$ 增大而增大，故最强条件来自 $n=99$，即 $d\geqslant-\dfrac{2}{199}$. 对 $n\geqslant2$，有 $2n-3<2n+1$，从而 $-\dfrac{2}{2n-3}< -\dfrac{2}{2n+1}$，所以后一组下界不比前一组的最强下界严格. 综合得公差范围为 $d\in\left[-\dfrac{2}{199},2\right]$. 代回上述两组不等式可知该范围内各不等式均成立，所以这是充要范围. \end{enumerate} \end{solution}