在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于______.

\begin{answer} $24$ \end{answer}

\begin{solution} 由主视图可知，两个缺口在横向上的宽均为 $2$，在竖直方向上的高均为 $2$：大长方形的总宽为 $5$，中间保留部分的宽为 $1$，所以两侧缺口的宽为 $\frac{(5-1)}{2}=2$，缺口的高度由图中标注为 $2$. 由左视图和俯视图可知，两个缺口均贯穿长方体的整个深度，深度为 $3$. 因此每个被切去的小长方体的体积为 $2\times3\times2=12$，两个小长方体的体积之和为 $2\times12=24$. \end{solution}

若圆锥的侧面积是底面积的 $3$ 倍，则其母线与轴所成角的大小为______.（结果用反三角函数值表示）

\begin{answer} $\arcsin\frac{1}{3}$ \end{answer}

\begin{solution} 设圆锥底面半径为 $r>0$，母线长为 $l$. 由圆锥侧面积为 $\pi rl$、底面积为 $\pi r^2$，且侧面积是底面积的 $3$ 倍，得 $\pi rl=3\pi r^2$，从而 $l=3r$. 设母线与轴所成的锐角为 $\theta$. 在圆锥的轴截面中，母线是斜边，底面半径是与 $\theta$ 对应的对边，因此 $\sin\theta=\dfrac r l=\dfrac13$. 由于 $0<\theta<\dfrac\pi2$，所以 $\theta=\arcsin\dfrac13$. \end{solution}

底面边长为 $2$ 的正三棱锥 $P-ABC$，其表面展开图是三角形 $P_{1}P_{2}P_{3}$，如图，求 $\triangle P_{1}P_{2}P_{3}$ 的各边长及此三棱锥的体积 $V$.

\begin{solution} 设正三棱锥的侧棱长为 $l$. 由展开图，$P_1$，$B$，$P_2$ 共线，且 $P_1B=BP_2=l$，所以 $P_1P_2=2l$. 又因 $P_2$，$C$，$P_3$ 共线且 $P_2C=CP_3=l$，有 $P_2P_3=2l$；因 $P_3$，$A$，$P_1$ 共线且 $P_3A=AP_1=l$，有 $P_3P_1=2l$. 因此 $\triangle P_1P_2P_3$ 的三边相等.

在展开图中，$A$、$B$、$C$ 分别位于外三角形 $P_1P_2P_3$ 的三边上，且每个点把相应边分成长度均为 $l$ 的两段，所以 $A$、$B$、$C$ 分别是三边的中点. 由三角形中位线定理，$AB$、$BC$、$CA$ 分别等于外三角形对应边长的一半，即 $AB=BC=CA=l$. 底面边长为 $2$，故 $l=2$，于是 $P_1P_2=P_2P_3=P_3P_1=2l=4$.

设底面中心为 $O$. 正三角形 $ABC$ 的高为 $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$，所以其外接圆半径为 $AO=\dfrac23\sqrt3=\dfrac{2\sqrt3}{3}$. 正三棱锥的高 $PO$ 垂直于底面，且 $PA=l=2$. 在直角三角形 $PAO$ 中， $PO=\sqrt{PA^2-AO^2}=\sqrt{4-\dfrac43}=\dfrac{2\sqrt6}{3}$.

底面面积为 $S_{ABC}=\dfrac12\times2\times\sqrt3=\sqrt3$，故三棱锥体积为 $V=\dfrac13S_{ABC}\cdot PO=\dfrac13\times\sqrt3\times\dfrac{2\sqrt6}{3}=\dfrac{2\sqrt2}{3}$. \end{solution}