函数 $y = 1 - 2\cos^{2}(2x)$ 的最小正周期是______.

\begin{answer} $\frac{\pi}{2}$ \end{answer}

\begin{solution} 由降幂公式，$y=1-\left(1+\cos4x\right)=-\cos4x$. 函数 $\cos4x$ 的最小正周期为 $\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$，乘以 $-1$ 不改变周期，因此所求最小正周期为 $\dfrac{\pi}{2}$. \end{solution}

方程 $\sin x + \sqrt{3}\cos x = 1$ 在区间 $[0, 2\pi]$ 上的所有解的和等于______.

\begin{answer} $\frac{7\pi}{3}$ \end{answer}

\begin{solution} 由辅助角公式，$\sin x+\sqrt3\cos x=2\sin\left(x+\dfrac\pi3\right)$，故方程等价于 $\sin\left(x+\dfrac\pi3\right)=\dfrac12$. 令 $t=x+\dfrac\pi3$，则 $t\in\left[\dfrac\pi3,\dfrac{7\pi}3\right]$. 在此区间内，只有 $t=\dfrac{5\pi}6$ 和 $t=\dfrac{13\pi}6$ 满足正弦值为 $\dfrac12$，所以 $x=\dfrac\pi2$ 或 $x=\dfrac{11\pi}6$. 所有解的和为 $\dfrac\pi2+\dfrac{11\pi}6=\dfrac{7\pi}3$. \end{solution}

如图，某公司要在 $A$，$B$ 两地连线上的定点 $C$ 处建造广告牌 $CD$，其中 $D$ 为顶端，$AC$ 长 $35\text{ 米}$，$CB$ 长 $80\text{ 米}$. 设点 $A$，$B$ 在同一水平面上，从 $A$ 和 $B$ 看 $D$ 的仰角分别为 $\alpha$ 和 $\beta$.

(1) 设计中 $CD$ 是铅垂方向. 若要求 $\alpha \geqslant 2\beta$，问 $CD$ 的长至多为多少（结果精确到 $0.01\text{ 米}$）？ (2) 施工完成后，$CD$ 与铅垂方向有偏差. 现在实测得 $\alpha = 38.12^{\circ}$，$\beta = 18.45^{\circ}$，求 $CD$ 的长（结果精确到 $0.01\text{ 米}$）.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 $CD=h\text{ 米}$. 因为 $CD$ 铅垂，所以在两个直角三角形中有 $\tan\alpha=\dfrac h{35}$、$\tan\beta=\dfrac h{80}$. 由 $\alpha\geqslant2\beta$ 且 $\alpha<\dfrac\pi2$，可知 $2\beta<\dfrac\pi2$，故 $h<80$，正切函数在相关区间上单调递增. 因此 $\dfrac h{35}\geqslant\tan2\beta=\dfrac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta}=\dfrac{2\frac{h}{80}}{1-\frac{h^2}{80^2}}$. 由于 $h>0$ 且 $h<80$，可约去 $h$，并得到 $\dfrac1{35}\geqslant\dfrac{\frac{2}{80}}{1-\frac{h^2}{80^2}}=\dfrac1{40\left(1-\frac{h^2}{6400}\right)}$. 分母为正，交叉相乘得 $40\left(1-\frac{h^2}{6400}\right)\geqslant35$，即 $h^2\leqslant800$. 所以 $h\leqslant20\sqrt2\approx28.2843$，故 $CD$ 至多为 $28.28\text{ 米}$. \item 由 $AB=AC+CB=115\text{ 米}$，在三角形 $ADB$ 中有 $\angle DAB=38.12^{\circ}$、$\angle ABD=18.45^{\circ}$. 由正弦定理， $\dfrac{BD}{\sin38.12^{\circ}}=\dfrac{115}{\sin\left(38.12^{\circ}+18.45^{\circ}\right)}$，所以 $BD=\dfrac{115\sin38.12^{\circ}}{\sin56.57^{\circ}}\approx85.0637\text{ 米}$. 在三角形 $BCD$ 中，$BC=80\text{ 米}$，且 $\angle CBD=18.45^{\circ}$. 由余弦定理， $CD^2=BC^2+BD^2-2\cdot BC\cdot BD\cos18.45^{\circ}$，从而 $CD\approx\sqrt{80^2+85.0637^2-2\cdot80\cdot85.0637\cos18.45^{\circ}}\approx26.9296\text{ 米}$. 精确到 $0.01\text{ 米}$ 得 $CD=26.93\text{ 米}$. \end{enumerate} \end{solution}