已知曲线 $C: x = -\sqrt{4 - y^2}$，直线 $l: x = 6$. 若对于点 $A(m,0)$，存在 $C$ 上的点 $P$ 和 $l$ 上的 $Q$ 使得 $\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{0}$，则 $m$ 的取值范围为______.

\begin{answer} $[2,3]$ \end{answer}

\begin{solution} 设 $P=(x,y)$，则由曲线方程知 $-2\leqslant x\leqslant0$，且 $Q$ 在直线 $x=6$ 上. 向量等式等价于 $P+Q=2A=(2m,0)$，所以 $Q=(6,-y)$，并且 $2m=x+6$. 因此 $m=\dfrac{x+6}{2}$，随 $x\in[-2,0]$ 取遍 $[2,3]$. 反过来，左半圆上每个 $x\in[-2,0]$ 都有相应的 $y$，故区间内每个 $m$ 都能实现，所求范围为 $[2,3]$. \end{solution}

如图，四个边长为 1 的小正方形排成一个大正方形，$AB$ 是大正方形的一边，$P_i$（$i=1$，$2$，$\cdots$，$7$） 是小正方形的其余顶点，则 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP_i}$（$i=1$，$2$，$\cdots$，$7$） 的不同值的个数为（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 以 $A$ 为原点，令 $AB$ 方向为纵轴正方向，建立直角坐标系，则 $A=(0,0)$、$B=(0,2)$，且七个点的纵坐标分别只能为 $0$、$1$、$2$. 对任一点 $P_i=(u,v)$，有 $\overrightarrow{AB}=(0,2)$、$\overrightarrow{AP_i}=(u,v)$，所以 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP_i}=2v$. 其不同值为 $0$、$2$、$4$，共 $3$ 个，选 C. \end{solution}