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01三角函数★☆☆☆☆
函数 y=1−2cos⁡2(2x)y = 1 - 2\cos^{2}(2x) 的最小正周期是______.
\begin{answer} π2\frac{\pi}{2} \end{answer}
\begin{solution} 由降幂公式，y=1−(1+cos⁡4x)=−cos⁡4xy=1-\left(1+\cos4x\right)=-\cos4x. 函数 cos⁡4x\cos4x 的最小正周期为 2π4=π2\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}，乘以 −1-1 不改变周期，因此所求最小正周期为 π2\dfrac{\pi}{2}. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 1 题 · 填空题

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02复数★☆☆☆☆
若复数 z=1+2iz = 1 + 2\mathrm{i}，其中 i\mathrm{i} 是虚数单位，则 (z+1z‾)⋅z‾=\left(z + \frac{1}{\overline{z}}\right) \cdot \overline{z} =______.
\begin{answer} 66 \end{answer}
\begin{solution} 因为 z‾=1−2i\overline z=1-2\mathrm{i}，所以 zz‾=12+22=5z\overline z=1^2+2^2=5，且 1z‾=zzz‾=z5\dfrac{1}{\overline z}=\dfrac{z}{z\overline z}=\dfrac{z}{5}. 因而 (z+1z‾)z‾=zz‾+1=5+1=6\left(z+\dfrac{1}{\overline z}\right)\overline z=z\overline z+1=5+1=6. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 2 题 · 填空题

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03不等式★☆☆☆☆
设常数 a∈Ra \in \mathbf{R}，函数 f(x)=∣x−1∣+∣x2−a∣f(x) = |x - 1| + |x^2 - a|，若 f(2)=1f(2) = 1，则 f(1)=f(1) =______.
\begin{answer} 33 \end{answer}
\begin{solution} 由 f(2)=∣2−1∣+∣4−a∣=1+∣4−a∣=1f(2)=|2-1|+|4-a|=1+|4-a|=1，得 ∣4−a∣=0|4-a|=0，所以 a=4a=4. 因此 f(1)=∣1−1∣+∣1−4∣=3f(1)=|1-1|+|1-4|=3. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 3 题 · 填空题

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04解析几何★★☆☆☆
若抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px 的焦点与椭圆 x29+y25=1\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为______.
\begin{answer} x=−2x=-2 \end{answer}
\begin{solution} 椭圆的焦半距满足 c2=9−5=4c^2=9-5=4，故右焦点为 (2,0)(2,0). 对抛物线 y2=2pxy^2=2px，焦点为 (p2,0)\left(\dfrac p2,0\right)，准线为 x=−p2x=-\dfrac p2. 由焦点重合得 p2=2\dfrac p2=2，所以 p=4p=4，准线方程为 x=−2x=-2. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 4 题 · 填空题

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05概率与统计★☆☆☆☆
某校高一，高二，高三分别有学生 1600 名1600\text{ 名}、1200 名1200\text{ 名}、800 名800\text{ 名}. 为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样. 若高三抽出 20 名20\text{ 名}学生，则高一，高二共抽取的学生数为______.
\begin{answer} 7070 \end{answer}
\begin{solution} 分层抽样中各层抽取人数与该层学生人数成比例. 三个年级人数之比为 1600:1200:800=4:3:21600:1200:800=4:3:2. 高三的 22 份对应 2020 人，因此每份对应 1010 人，高一、高二共对应 4+3=74+3=7 份，抽取人数为 7×10=707\times10=70. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 5 题 · 填空题

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06不等式★★☆☆☆
若实数 xx，yy 满足 xy=1xy = 1，则 x2+2y2x^2 + 2y^2 的最小值为______.
\begin{answer} 222\sqrt{2} \end{answer}
\begin{solution} 由 xy=1xy=1 知 x≠0x\ne0，且 y2=1x2y^2=\dfrac{1}{x^2}. 令 u=x2>0u=x^2>0，则 x2+2y2=u+2u⩾22x^2+2y^2=u+\dfrac{2}{u}\geqslant2\sqrt{2}，其中等号成立当且仅当 u=2u=\sqrt2. 此时可取 x=214x=2^{\frac{1}{4}}、y=2−14y=2^{-\frac{1}{4}}，满足 xy=1xy=1，所以最小值为 222\sqrt2. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 6 题 · 填空题

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07立体几何初步★★☆☆☆
在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于______.
\begin{answer} 2424 \end{answer}
\begin{solution} 由主视图可知，两个缺口在横向上的宽均为 22，在竖直方向上的高均为 22：大长方形的总宽为 55，中间保留部分的宽为 11，所以两侧缺口的宽为 (5−1)2=2\frac{(5-1)}{2}=2，缺口的高度由图中标注为 22. 由左视图和俯视图可知，两个缺口均贯穿长方体的整个深度，深度为 33. 因此每个被切去的小长方体的体积为 2×3×2=122\times3\times2=12，两个小长方体的体积之和为 2×12=242\times12=24. \end{solution}

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08立体几何初步★★☆☆☆
若圆锥的侧面积是底面积的 33 倍，则其母线与轴所成角的大小为______.（结果用反三角函数值表示）
\begin{answer} arcsin⁡13\arcsin\frac{1}{3} \end{answer}
\begin{solution} 设圆锥底面半径为 r>0r>0，母线长为 ll. 由圆锥侧面积为 πrl\pi rl、底面积为 πr2\pi r^2，且侧面积是底面积的 33 倍，得 πrl=3πr2\pi rl=3\pi r^2，从而 l=3rl=3r. 设母线与轴所成的锐角为 θ\theta. 在圆锥的轴截面中，母线是斜边，底面半径是与 θ\theta 对应的对边，因此 sin⁡θ=rl=13\sin\theta=\dfrac r l=\dfrac13. 由于 0<θ<π20<\theta<\dfrac\pi2，所以 θ=arcsin⁡13\theta=\arcsin\dfrac13. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 8 题 · 填空题

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09函数与初等函数★★★☆☆
设
f(x)={(x−a)2,x⩽0,x+1x+a,x>0,f(x) = \begin{cases} (x - a)^2, & x \leqslant 0,\\ x + \frac{1}{x} + a, & x > 0, \end{cases}
若 f(0)f(0) 是 f(x)f(x) 的最小值，则 aa 的取值范围为______.
\begin{answer} [0,2]\left[0,2\right] \end{answer}
\begin{solution} 有 f(0)=a2f(0)=a^2. 若 a<0a<0，则点 x=a⩽0x=a\leqslant0 属于第一段定义域，且 f(a)=0<a2=f(0)f(a)=0<a^2=f(0)，不合题意，所以必须有 a⩾0a\geqslant0. 此时对任意 x⩽0x\leqslant0，有 a−x⩾aa-x\geqslant a，从而 f(x)=(a−x)2⩾a2=f(0)f(x)=(a-x)^2\geqslant a^2=f(0). 对任意 x>0x>0，由基本不等式得 x+1x+a⩾2+ax+\dfrac1x+a\geqslant2+a，且在 x=1x=1 时取等号. 因而 f(0)f(0) 为全局最小值的充要条件是 a2⩽a+2a^2\leqslant a+2. 联立 a⩾0a\geqslant0，得 (a−2)(a+1)⩽0(a-2)(a+1)\leqslant0，所以 0⩽a⩽20\leqslant a\leqslant2. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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10数列★★★☆☆
设无穷等比数列 {an}\{a_{n}\} 的公比为 qq，若 a1=lim⁡n→∞(a3+a4+⋯+an)a_{1} = \lim\limits_{n\to \infty}(a_{3} + a_{4} + \dots + a_{n})，则 q=‾q =\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 5−12\frac{\sqrt{5}-1}{2} \end{answer}
\begin{solution} 按非零首项的无穷等比数列定义，尾项和存在必须有 ∣q∣<1|q|<1. 由等比数列求和公式， lim⁡n→∞(a3+a4+⋯+an)=a1q21−q\lim\limits_{n\to\infty}(a_3+a_4+\cdots+a_n)=\dfrac{a_1q^2}{1-q}. 与题设相等并约去非零的 a1a_1，得 1=q21−q1=\dfrac{q^2}{1-q}，即 q2+q−1=0q^2+q-1=0. 解得 q=−1±52q=\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2}，其中只有 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2} 满足 ∣q∣<1|q|<1，故所求为 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2}. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11不等式★★☆☆☆
若 f(x)=x23−x−12f(x) = x^{\frac{2}{3}} - x^{-\frac{1}{2}}，则满足 f(x)<0f(x) < 0 的 xx 的取值范围是______.
\begin{answer} (0,1)\left(0,1\right) \end{answer}
\begin{solution} 由于含有 x−12=1xx^{-\frac{1}{2}}=\dfrac1{\sqrt x}，函数定义域为 x>0x>0. 在此范围内，f(x)<0f(x)<0 等价于 x23<x−12x^{\frac{2}{3}}<x^{-\frac{1}{2}}. 两边同乘正数 x12x^{\frac{1}{2}}，得 x76<1x^{\frac{7}{6}}<1，所以 0<x<10<x<1. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12三角函数★★★☆☆
方程 sin⁡x+3cos⁡x=1\sin x + \sqrt{3}\cos x = 1 在区间 [0,2π][0, 2\pi] 上的所有解的和等于______.
\begin{answer} 7π3\frac{7\pi}{3} \end{answer}
\begin{solution} 由辅助角公式，sin⁡x+3cos⁡x=2sin⁡(x+π3)\sin x+\sqrt3\cos x=2\sin\left(x+\dfrac\pi3\right)，故方程等价于 sin⁡(x+π3)=12\sin\left(x+\dfrac\pi3\right)=\dfrac12. 令 t=x+π3t=x+\dfrac\pi3，则 t∈[π3,7π3]t\in\left[\dfrac\pi3,\dfrac{7\pi}3\right]. 在此区间内，只有 t=5π6t=\dfrac{5\pi}6 和 t=13π6t=\dfrac{13\pi}6 满足正弦值为 12\dfrac12，所以 x=π2x=\dfrac\pi2 或 x=11π6x=\dfrac{11\pi}6. 所有解的和为 π2+11π6=7π3\dfrac\pi2+\dfrac{11\pi}6=\dfrac{7\pi}3. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13概率与统计★★☆☆☆
为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 10 天10\text{ 天} 中随机选择 3 天3\text{ 天}进行紧急疏散演练，则选择的 3 天3\text{ 天}恰好为连续 3 天3\text{ 天}的概率是______.（结果用最简分数表示）
\begin{answer} 115\frac{1}{15} \end{answer}
\begin{solution} 从连续十天中任选三天，基本事件总数为 C103=120\mathrm C_{10}^{3}=120. 恰为连续三天时，起始日可以是第 11 天至第 88 天，共有 88 种. 因此所求概率为 8120=115\dfrac{8}{120}=\dfrac1{15}. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★★☆
已知曲线 C:x=−4−y2C: x = -\sqrt{4 - y^2}，直线 l:x=6l: x = 6. 若对于点 A(m,0)A(m,0)，存在 CC 上的点 PP 和 ll 上的 QQ 使得 AP→+AQ→=0→\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{0}，则 mm 的取值范围为______.
\begin{answer} [2,3][2,3] \end{answer}
\begin{solution} 设 P=(x,y)P=(x,y)，则由曲线方程知 −2⩽x⩽0-2\leqslant x\leqslant0，且 QQ 在直线 x=6x=6 上. 向量等式等价于 P+Q=2A=(2m,0)P+Q=2A=(2m,0)，所以 Q=(6,−y)Q=(6,-y)，并且 2m=x+62m=x+6. 因此 m=x+62m=\dfrac{x+6}{2}，随 x∈[−2,0]x\in[-2,0] 取遍 [2,3][2,3]. 反过来，左半圆上每个 x∈[−2,0]x\in[-2,0] 都有相应的 yy，故区间内每个 mm 都能实现，所求范围为 [2,3][2,3]. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，则“a+b>4a + b > 4”是“a>2a > 2 且 b>2b > 2”的（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 若 a>2a>2 且 b>2b>2，则 a+b>4a+b>4，所以“a+b>4a+b>4”是“a>2a>2 且 b>2b>2”的必要条件. 但取 a=3a=3、b=2b=2，有 a+b=5>4a+b=5>4，而 b>2b>2 不成立，故不是充分条件，选 B. \end{solution}
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2014 · 上海 · 文 · 第 15 题 · 选择题

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16复数★★★☆☆
已知互异的复数 aa，bb 满足 ab≠0ab \neq 0，集合 {a,b}={a2,b2}\{a, b\} = \{a^2, b^2\}，则 a+b=a + b =（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由于 a≠ba\ne b，集合相等时不可能同时有 a=a2a=a^2 和 b=b2b=b^2，否则由 ab≠0ab\ne0 得 a=b=1a=b=1. 因而只能有 a=b2a=b^2、b=a2b=a^2. 代入得 a=a4a=a^4，而 a≠0a\ne0，所以 a3=1a^3=1. 若 a=1a=1，则 b=a2=1b=a^2=1，与互异矛盾；故 aa 是非实的三次单位根，且 b=a2b=a^2. 由 1+a+a2=01+a+a^2=0，得 a+b=a+a2=−1a+b=a+a^2=-1，选 D. \end{solution}
A.
22
B.
11
C.
00
D.
−1-1

2014 · 上海 · 文 · 第 16 题 · 选择题

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17平面向量★★☆☆☆
如图，四个边长为 1 的小正方形排成一个大正方形，ABAB 是大正方形的一边，PiP_i（i=1i=1，22，⋯\cdots，77） 是小正方形的其余顶点，则 AB→⋅APi→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP_i}（i=1i=1，22，⋯\cdots，77） 的不同值的个数为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 以 AA 为原点，令 ABAB 方向为纵轴正方向，建立直角坐标系，则 A=(0,0)A=(0,0)、B=(0,2)B=(0,2)，且七个点的纵坐标分别只能为 00、11、22. 对任一点 Pi=(u,v)P_i=(u,v)，有 AB→=(0,2)\overrightarrow{AB}=(0,2)、APi→=(u,v)\overrightarrow{AP_i}=(u,v)，所以 AB→⋅APi→=2v\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP_i}=2v. 其不同值为 00、22、44，共 33 个，选 C. \end{solution}
A.
77
B.
55
C.
33
D.
11

2014 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 选择题

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18解析几何★★★☆☆
已知 P1(a1,b1)P_{1}(a_{1}, b_{1}) 与 P2(a2,b2)P_{2}(a_{2}, b_{2}) 是直线 y=kx+1y = kx + 1（kk 为常数）上两个不同的点，则关于 xx 和 yy 的方程组
{a1x+b1y=1,a2x+b2y=1\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y = 1,\\ a_{2}x + b_{2}y = 1 \end{cases}
的解的情况是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 由 PiP_i 在直线 y=kx+1y=kx+1 上，有 bi=kai+1b_i=ka_i+1（i=1i=1，22）. 方程组的系数行列式为 a1b2−a2b1=a1(ka2+1)−a2(ka1+1)=a1−a2a_1b_2-a_2b_1=a_1(ka_2+1)-a_2(ka_1+1)=a_1-a_2. 若 a1=a2a_1=a_2，则由同一直线方程可得 b1=b2b_1=b_2，与两点不同矛盾，因此 a1−a2≠0a_1-a_2\ne0. 系数行列式非零，方程组始终有唯一解，选 B. \end{solution}
A.
无论 k,P1,P2k, P_{1}, P_{2} 如何，总是无解
B.
无论 kk，P1P_{1}，P2P_{2} 如何，总有唯一解
C.
存在 kk，P1P_{1}，P2P_{2}，使之恰有两解
D.
存在 kk，P1P_{1}，P2P_{2}，使之有无穷多解

2014 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 选择题

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19立体几何初步★★☆☆☆
底面边长为 22 的正三棱锥 P−ABCP-ABC，其表面展开图是三角形 P1P2P3P_{1}P_{2}P_{3}，如图，求 △P1P2P3\triangle P_{1}P_{2}P_{3} 的各边长及此三棱锥的体积 VV.
\begin{solution} 设正三棱锥的侧棱长为 ll. 由展开图，P1P_1，BB，P2P_2 共线，且 P1B=BP2=lP_1B=BP_2=l，所以 P1P2=2lP_1P_2=2l. 又因 P2P_2，CC，P3P_3 共线且 P2C=CP3=lP_2C=CP_3=l，有 P2P3=2lP_2P_3=2l；因 P3P_3，AA，P1P_1 共线且 P3A=AP1=lP_3A=AP_1=l，有 P3P1=2lP_3P_1=2l. 因此 △P1P2P3\triangle P_1P_2P_3 的三边相等.
在展开图中，AA、BB、CC 分别位于外三角形 P1P2P3P_1P_2P_3 的三边上，且每个点把相应边分成长度均为 ll 的两段，所以 AA、BB、CC 分别是三边的中点. 由三角形中位线定理，ABAB、BCBC、CACA 分别等于外三角形对应边长的一半，即 AB=BC=CA=lAB=BC=CA=l. 底面边长为 22，故 l=2l=2，于是 P1P2=P2P3=P3P1=2l=4P_1P_2=P_2P_3=P_3P_1=2l=4.
设底面中心为 OO. 正三角形 ABCABC 的高为 22−12=3\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3，所以其外接圆半径为 AO=233=233AO=\dfrac23\sqrt3=\dfrac{2\sqrt3}{3}. 正三棱锥的高 POPO 垂直于底面，且 PA=l=2PA=l=2. 在直角三角形 PAOPAO 中， PO=PA2−AO2=4−43=263PO=\sqrt{PA^2-AO^2}=\sqrt{4-\dfrac43}=\dfrac{2\sqrt6}{3}.
底面面积为 SABC=12×2×3=3S_{ABC}=\dfrac12\times2\times\sqrt3=\sqrt3，故三棱锥体积为 V=13SABC⋅PO=13×3×263=223V=\dfrac13S_{ABC}\cdot PO=\dfrac13\times\sqrt3\times\dfrac{2\sqrt6}{3}=\dfrac{2\sqrt2}{3}. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★☆☆☆
设常数 a⩾0a \geqslant 0，函数 f(x)=2x+a2x−af(x) = \dfrac{2^x + a}{2^x - a}.
(1) 若 a=4a = 4，求函数 y=f(x)y = f(x) 的反函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x)； (2) 根据 aa 的不同取值，讨论函数 y=f(x)y = f(x) 的奇偶性，并说明理由.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 a=4a=4 时，函数定义域为 x≠2x\ne2. 设 y=2x+42x−4y=\dfrac{2^x+4}{2^x-4}，则 y(2x−4)=2x+4y(2^x-4)=2^x+4，所以 (y−1)2x=4(y+1)(y-1)2^x=4(y+1)，即 2x=4(y+1)y−12^x=\dfrac{4(y+1)}{y-1}. 因而 x=log⁡24(y+1)y−1x=\log_2\dfrac{4(y+1)}{y-1}. 当 0<2x<40<2^x<4 时，y<−1y<-1；当 2x>42^x>4 时，y>1y>1，所以值域为 (−∞,−1)∪(1,+∞)(-\infty,-1)\cup(1,+\infty). 交换自变量与因变量，得 f−1(x)=log⁡24x+4x−1f^{-1}(x)=\log_2\dfrac{4x+4}{x-1}，定义域为 x∈(−∞,−1)∪(1,+∞)x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty). \item 当 a=0a=0 时，f(x)=1f(x)=1，定义域为 R\mathbf{R}，且 f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)，所以是偶函数. 当 a=1a=1 时，定义域为 R\{0}\mathbf{R}\mathbin{\backslash}\{0\}，且 f(−x)=2−x+12−x−1=1+2x1−2x=−2x+12x−1=−f(x)f(-x)=\dfrac{2^{-x}+1}{2^{-x}-1}=\dfrac{1+2^x}{1-2^x}=-\dfrac{2^x+1}{2^x-1}=-f(x)，所以是奇函数. 当 a>0a>0 且 a≠1a\ne1 时，定义域为 R\{log⁡2a}\mathbf{R}\mathbin{\backslash}\{\log_2a\}，被排除的点不为 00，定义域不关于原点对称，因而既不是奇函数也不是偶函数. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21三角函数★★★★☆
如图，某公司要在 AA，BB 两地连线上的定点 CC 处建造广告牌 CDCD，其中 DD 为顶端，ACAC 长 35 米35\text{ 米}，CBCB 长 80 米80\text{ 米}. 设点 AA，BB 在同一水平面上，从 AA 和 BB 看 DD 的仰角分别为 α\alpha 和 β\beta.
(1) 设计中 CDCD 是铅垂方向. 若要求 α⩾2β\alpha \geqslant 2\beta，问 CDCD 的长至多为多少（结果精确到 0.01 米0.01\text{ 米}）？ (2) 施工完成后，CDCD 与铅垂方向有偏差. 现在实测得 α=38.12∘\alpha = 38.12^{\circ}，β=18.45∘\beta = 18.45^{\circ}，求 CDCD 的长（结果精确到 0.01 米0.01\text{ 米}）.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 CD=h 米CD=h\text{ 米}. 因为 CDCD 铅垂，所以在两个直角三角形中有 tan⁡α=h35\tan\alpha=\dfrac h{35}、tan⁡β=h80\tan\beta=\dfrac h{80}. 由 α⩾2β\alpha\geqslant2\beta 且 α<π2\alpha<\dfrac\pi2，可知 2β<π22\beta<\dfrac\pi2，故 h<80h<80，正切函数在相关区间上单调递增. 因此 h35⩾tan⁡2β=2tan⁡β1−tan⁡2β=2h801−h2802\dfrac h{35}\geqslant\tan2\beta=\dfrac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta}=\dfrac{2\frac{h}{80}}{1-\frac{h^2}{80^2}}. 由于 h>0h>0 且 h<80h<80，可约去 hh，并得到 135⩾2801−h2802=140(1−h26400)\dfrac1{35}\geqslant\dfrac{\frac{2}{80}}{1-\frac{h^2}{80^2}}=\dfrac1{40\left(1-\frac{h^2}{6400}\right)}. 分母为正，交叉相乘得 40(1−h26400)⩾3540\left(1-\frac{h^2}{6400}\right)\geqslant35，即 h2⩽800h^2\leqslant800. 所以 h⩽202≈28.2843h\leqslant20\sqrt2\approx28.2843，故 CDCD 至多为 28.28 米28.28\text{ 米}. \item 由 AB=AC+CB=115 米AB=AC+CB=115\text{ 米}，在三角形 ADBADB 中有 ∠DAB=38.12∘\angle DAB=38.12^{\circ}、∠ABD=18.45∘\angle ABD=18.45^{\circ}. 由正弦定理， BDsin⁡38.12∘=115sin⁡(38.12∘+18.45∘)\dfrac{BD}{\sin38.12^{\circ}}=\dfrac{115}{\sin\left(38.12^{\circ}+18.45^{\circ}\right)}，所以 BD=115sin⁡38.12∘sin⁡56.57∘≈85.0637 米BD=\dfrac{115\sin38.12^{\circ}}{\sin56.57^{\circ}}\approx85.0637\text{ 米}. 在三角形 BCDBCD 中，BC=80 米BC=80\text{ 米}，且 ∠CBD=18.45∘\angle CBD=18.45^{\circ}. 由余弦定理， CD2=BC2+BD2−2⋅BC⋅BDcos⁡18.45∘CD^2=BC^2+BD^2-2\cdot BC\cdot BD\cos18.45^{\circ}，从而 CD≈802+85.06372−2⋅80⋅85.0637cos⁡18.45∘≈26.9296 米CD\approx\sqrt{80^2+85.0637^2-2\cdot80\cdot85.0637\cos18.45^{\circ}}\approx26.9296\text{ 米}. 精确到 0.01 米0.01\text{ 米} 得 CD=26.93 米CD=26.93\text{ 米}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，对于直线 l:ax+by+c=0l: ax + by + c = 0 和点 P1(x1,y1)P_{1}(x_{1}, y_{1})，P2(x2,y2)P_{2}(x_{2}, y_{2})，记 η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)\eta = (ax_{1} + by_{1} + c)(ax_{2} + by_{2} + c). 若 η<0\eta < 0，则称点 P1P_{1}，P2P_{2} 被直线 ll 分隔. 若曲线 CC 与直线 ll 没有公共点，且曲线 CC 上存在点 P1P_{1}，P2P_{2} 被直线 ll 分隔，则称直线 ll 为曲线 CC 的一条分隔线.
(1) 求证：点 A(1,2)A(1,2)，B(−1,0)B(-1,0) 被直线 x+y−1=0x + y - 1 = 0 分隔； (2) 若直线 y=kxy = kx 是曲线 x2−4y2=1x^2 - 4y^2 = 1 的分隔线，求实数 kk 的取值范围； (3) 动点 MM 到点 Q(0,2)Q(0,2) 的距离与到 yy 轴的距离之积为 11，设点 MM 的轨迹为 EE. 求 EE 的方程，并证明 yy 轴为曲线 EE 的分隔线.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 对直线 x+y−1=0x+y-1=0，分别计算得 1+2−1=21+2-1=2、−1+0−1=−2-1+0-1=-2，两者乘积为 −4<0-4<0，所以点 AA、BB 被该直线分隔. \item 将直线 y=kxy=kx 代入曲线方程，得 (1−4k2)x2=1(1-4k^2)x^2=1. 直线与曲线没有公共点的充要条件是 1−4k2⩽01-4k^2\leqslant0，即 ∣k∣⩾12|k|\geqslant\dfrac12. 当 ∣k∣⩾12|k|\geqslant\dfrac12 时，曲线上两点 (1,0)(1,0)、(−1,0)(-1,0) 对直线 y−kx=0y-kx=0 的代数式值分别为 −k-k、kk，其乘积为 −k2<0-k^2<0，所以确实存在被直线分隔的两点. 因此 k∈(−∞,−12]∪[12,+∞)k\in\left(-\infty,-\dfrac12\right]\cup\left[\dfrac12,+\infty\right). \item 设 M=(x,y)M=(x,y). 到点 Q(0,2)Q(0,2) 的距离为 x2+(y−2)2\sqrt{x^2+(y-2)^2}，到 yy 轴的距离为 ∣x∣|x|. 由题意得 ∣x∣x2+(y−2)2=1|x|\sqrt{x^2+(y-2)^2}=1. 两边均非负，平方后得到轨迹方程 (x2+(y−2)2)x2=1\bigl(x^2+(y-2)^2\bigr)x^2=1. yy 轴的方程为 x=0x=0，代入上述方程得 0=10=1，所以 yy 轴与曲线 EE 没有公共点. 又 (1,2)(1,2)、(−1,2)(-1,2) 均满足曲线方程，而它们代入直线 x=0x=0 的代数式所得值为 11、−1-1，乘积小于零，因此这两点被 yy 轴分隔，故 yy 轴是曲线 EE 的分隔线. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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23数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足 13an⩽an+1⩽3an\frac{1}{3} a_{n} \leqslant a_{n+1} \leqslant 3a_{n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，a1=1a_{1} = 1.
(1) 若 a2=2a_{2} = 2，a3=xa_{3} = x，a4=9a_{4} = 9，求 xx 的取值范围； (2) 若 {an}\{a_{n}\} 是等比数列，且 am=11000a_{m} = \frac{1}{1000}，求正整数 mm 的最小值，以及 mm 取最小值时相应 {an}\{a_{n}\} 的公比； (3) 若 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a100a_{100} 成等差数列，求 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a100a_{100} 的公差的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 n=2n=2 时的不等式，得 23⩽x⩽6\dfrac23\leqslant x\leqslant6. 由 n=3n=3 时的不等式，得 x3⩽9⩽3x\dfrac x3\leqslant9\leqslant3x，即 3⩽x⩽273\leqslant x\leqslant27. 两个范围取交集，得到 x∈[3,6]x\in[3,6]. \item 设公比为 qq. 由 n=1n=1 时的条件，13⩽q⩽3\dfrac13\leqslant q\leqslant3，所以 q>0q>0. 因为 a1=1a_1=1，有 am=qm−1=10−3a_m=q^{m-1}=10^{-3}，故 q=10−3(m−1)q=10^{-\frac{3}{(m-1)}}. 条件 q⩾13q\geqslant\dfrac13 等价于 103(m−1)⩽310^{\frac{3}{(m-1)}}\leqslant3. 当 m=7m=7 时，q=10−12<13q=10^{-\frac{1}{2}}<\dfrac13，不满足条件；当 m=8m=8 时，q=10−37>13q=10^{-\frac{3}{7}}>\dfrac13，且 q<1<3q<1<3，满足上界条件. 因为 10−3(m−1)10^{-\frac{3}{(m-1)}} 随正整数 mm 增大而增大，故 m=7m=7 不可而 m=8m=8 可行，最小值为 88，相应公比为 q=10−37q=10^{-\frac{3}{7}}. \item 设公差为 dd，则 an=1+(n−1)da_n=1+(n-1)d. 对 n=1n=1，22，…\ldots，9999，原条件分别等价于 an+d⩾an3a_n+d\geqslant\dfrac{a_n}{3} 和 an+d⩽3ana_n+d\leqslant3a_n. 代入 ana_n 后，前一个不等式化为 (2n+1)d⩾−2(2n+1)d\geqslant-2，即 d⩾−22n+1d\geqslant-\dfrac{2}{2n+1}；后一个不等式化为 (3−2n)d⩽2(3-2n)d\leqslant2. 当 n=1n=1 时给出 d⩽2d\leqslant2，当 n⩾2n\geqslant2 时给出 d⩾−22n−3d\geqslant-\dfrac{2}{2n-3}. 前一组下界中，2n+12n+1 随 nn 增大而增大，故最强条件来自 n=99n=99，即 d⩾−2199d\geqslant-\dfrac{2}{199}. 对 n⩾2n\geqslant2，有 2n−3<2n+12n-3<2n+1，从而 −22n−3<−22n+1-\dfrac{2}{2n-3}< -\dfrac{2}{2n+1}，所以后一组下界不比前一组的最强下界严格. 综合得公差范围为 d∈[−2199,2]d\in\left[-\dfrac{2}{199},2\right]. 代回上述两组不等式可知该范围内各不等式均成立，所以这是充要范围. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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