函数 $f(x) = \lg \frac{1-x}{x-4}$ 的定义域为（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 对数的真数必须为正，即 $\frac{1-x}{x-4}>0$. 临界点为 $x=1$ 和 $x=4$. 当 $x<1$ 时，分子为正、分母为负；当 $1<x<4$ 时，分子和分母均为负；当 $x>4$ 时，分子为负、分母为正. 因此真数为正的范围是 $1<x<4$，定义域为 $(1,4)$，故选 A. \end{solution}

设椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率为 $e = \frac{1}{2}$，右焦点为 $F(c,0)$. 方程 $ax^2 + bx - c = 0$ 的两个实根分别为 $x_1$ 和 $x_2$，则点 $P(x_1, x_2)$（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 椭圆的离心率满足 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，所以 $c=\frac{a}{2}$，并且 $b^2=a^2-c^2=\frac{3a^2}{4}$，从而 $b=\frac{\sqrt{3}}{2}a$.

由方程 $ax^2+bx-c=0$ 的韦达定理， $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$x_1x_2=-\frac{c}{a}=-\frac{1}{2}$. 因此点 $P(x_1,x_2)$ 到原点的距离平方为 所以点 $P$ 必在圆 $x^2+y^2=2$ 内，故选 C. \end{solution}

已知函数 $y = f(x)$ 存在反函数 $y = f^{-1}(x)$，若函数 $y = f(1 + x)$ 的图象经过点 $(3,1)$，则函数 $y = f^{-1}(x)$ 的图象必经过点______.

\begin{answer} $(1,4)$ \end{answer}

\begin{solution} 函数 $y=f(1+x)$ 的图象经过 $(3,1)$，代入得 反函数图象由原函数图象关于直线 $y=x$ 对称，原图象上的点 $(4,1)$ 对称后变为 $(1,4)$. 因此函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图象必经过 $(1,4)$. \end{solution}

已知函数 在区间 $(0,1)$ 内连续，且 $f(c^{2})=\frac{9}{8}$.

(1) 求常数 $c$ 的值； (2) 解不等式 $f(x) > \frac{\sqrt{2}}{8} + 1$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 $f(c^2)$ 有意义且定义域为 $(0,1)$，得 $c^2\in(0,1)$. 若 $-1<c<0$，则 $c<c^2<1$，由第二段可得 $f(c^2)=2^{-\frac{c^2}{c^2}}+1=\frac{3}{2}\ne\frac{9}{8}$，所以 $0<c<1$. 因此 $c^2<c$，从而 $f(c^2)=c\cdot c^2+1=c^3+1=\frac{9}{8}$，解得 $c=\frac{1}{2}$. 此时在分界点 $x=c$ 处，左侧极限为 $c^2+1=\frac{5}{4}$，右侧函数值为 $2^{-\frac{1}{c}}+1=\frac{5}{4}$，两者相等，确实满足连续性条件.

\item 当 $c=\frac{1}{2}$ 时，不等式为 $f(x)>1+\frac{\sqrt{2}}{8}$. 当 $0<x<\frac{1}{2}$ 时，$f(x)=\frac{x}{2}+1$，所以 $\frac{x}{2}+1>1+\frac{\sqrt{2}}{8}\Longleftrightarrow x>\frac{\sqrt{2}}{4}$，得到 $\frac{\sqrt{2}}{4}<x<\frac{1}{2}$. 当 $\frac{1}{2}\leqslant x<1$ 时，$f(x)=2^{-4x}+1$，且 $\frac{\sqrt{2}}{8}=2^{-\frac{5}{2}}$，所以 $2^{-4x}>2^{-\frac{5}{2}}\Longleftrightarrow x<\frac{5}{8}$，得到 $\frac{1}{2}\leqslant x<\frac{5}{8}$. 合并两段，原不等式的解集为 $\left(\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{5}{8}\right)$. \end{enumerate} \end{solution}