已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，若 $S_{12} = 21$，则 $a_{2} + a_{5} + a_{8} + a_{11} =$______.

\begin{answer} $7$ \end{answer}

\begin{solution} 设等差数列的首项为 $a_1$，公差为 $d$，则 $a_k=a_1+(k-1)d$. 由等差数列前 $12$ 项和公式， 所以 另一方面， $a_2+a_{11}=2a_1+11d=\frac{7}{2}$，$a_5+a_8=2a_1+11d=\frac{7}{2}$. 因此 \end{solution}

设 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，$a_1 = 1$，$a_2 = 3$.

(1) 求最小的自然数 $n$，使 $a_n \geqslant 2007$； (2) 求和：$T_{2n} = \frac{1}{a_1} - \frac{2}{a_2} + \frac{3}{a_3} - \dots - \frac{2n}{a_{2n}}$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 等比数列的公比为 $q=\frac{a_2}{a_1}=3$，所以 $a_n=3^{n-1}$. 由于 $3^6=729<2007\leqslant2187=3^7$，故 $n-1\geqslant7$，满足条件的最小自然数为 $n=8$.

\item 由 $a_k=3^{k-1}$，有 $T_{2n}=\sum_{k=1}^{2n}k\left(-\frac{1}{3}\right)^{k-1}$. 令 $r\in\mathbf{R}$，由有限等比数列求和公式

两边对 $r$ 求导，得

令 $r=-\frac{1}{3}$，则

\end{enumerate} \end{solution}