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10
数列
★★★★★
设
a
a
a
，
b
∈
R
b\in\mathbf{R}
b
∈
R
，数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
中，
a
1
=
a
a_1=a
a
1
=
a
，
a
n
+
1
=
a
n
2
+
b
a_{n+1}=a_n^2+b
a
n
+
1
=
a
n
2
+
b
（
n
∈
N
∗
n\in\mathbf{N}^*
n
∈
N
∗
），则（ ）
A.
当
b
=
1
2
b=\dfrac12
b
=
2
1
时，
a
10
>
10
a_{10}>10
a
10
>
10
B.
当
b
=
1
4
b=\dfrac14
b
=
4
1
时，
a
10
>
10
a_{10}>10
a
10
>
10
C.
当
b
=
−
2
b=-2
b
=
−
2
时，
a
10
>
10
a_{10}>10
a
10
>
10
D.
当
b
=
−
4
b=-4
b
=
−
4
时，
a
10
>
10
a_{10}>10
a
10
>
10
2019 · 浙江 · 第 10 题 · 选择题
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20
数列
★★★★☆
设等差数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
的前
n
n
n
项和为
S
n
S_n
S
n
，
a
3
=
4
a_3=4
a
3
=
4
，
a
4
=
S
3
a_4=S_3
a
4
=
S
3
，数列
{
b
n
}
\{b_n\}
{
b
n
}
满足：对每个
n
∈
N
∗
n\in\mathbf{N}^*
n
∈
N
∗
，
S
n
+
b
n
S_n+b_n
S
n
+
b
n
，
S
n
+
1
+
b
n
S_{n+1}+b_n
S
n
+
1
+
b
n
，
S
n
+
2
+
b
n
S_{n+2}+b_n
S
n
+
2
+
b
n
成等比数列.
(1) 求数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
，
{
b
n
}
\{b_n\}
{
b
n
}
的通项公式； (2) 记
C
n
=
a
n
2
b
n
C_n=\sqrt{\dfrac{a_n}{2b_n}}
C
n
=
2
b
n
a
n
（
n
∈
N
∗
n\in\mathbf{N}^*
n
∈
N
∗
），证明：
C
1
+
C
2
+
⋯
+
C
n
<
2
n
C_1+C_2+\cdots+C_n<2\sqrt n
C
1
+
C
2
+
⋯
+
C
n
<
2
n
，
n
∈
N
∗
n\in\mathbf{N}^*
n
∈
N
∗
.
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