数迹
题目列表试卷列表
共找到 4 题
排序：
组题
本页 4 题去组卷
09解析几何★★☆☆☆
在同一坐标系中，方程 a2x2+b2y2=1a^2x^2+b^2y^2=1 与 ax+by2=0ax+by^2=0（a>b>0a>b>0）的曲线大致是（ ）
\begin{solution} 将第一个方程写成
x21a2+y21b2=1\frac{x^2}{\frac{1}{a^2}}+\frac{y^2}{\frac{1}{b^2}}=1
由于 a>b>0a>b>0，有 1a<1b\frac{1}{a}<\frac{1}{b}，所以它表示长轴在 yy 轴上的椭圆.
第二个方程可化为
y2=−abxy^2=-\frac{a}{b}x
因为 ab>0\frac{a}{b}>0，这是顶点在原点、关于 xx 轴对称并向左开口的抛物线. 因此应选图形 D. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 9 题 · 选择题

查看答案和解析
12解析几何★★★☆☆
已知直线 ax+by+c=0ax+by+c=0（abc≠0abc\neq0）与圆 x2+y2=1x^2+y^2=1 相切，则三条边长分别为 ∣a∣\lvert a\rvert，∣b∣\lvert b\rvert，∣c∣\lvert c\rvert 的三角形（ ）
\begin{solution} 圆心为原点，半径为 11. 由点到直线的距离公式，原点到直线 ax+by+c=0ax+by+c=0 的距离为
∣c∣a2+b2\frac{\lvert c\rvert}{\sqrt{a^2+b^2}}
相切条件给出
∣c∣a2+b2=1⟺a2+b2=c2\frac{\lvert c\rvert}{\sqrt{a^2+b^2}}=1 \Longleftrightarrow a^2+b^2=c^2
因此 ∣a∣\lvert a\rvert，∣b∣\lvert b\rvert，∣c∣\lvert c\rvert 满足勾股定理，且三者均为正数，所以它们是一个直角三角形的三边. 故选 B. \end{solution}
A.
是锐角三角形
B.
是直角三角形
C.
是钝角三角形
D.
不存在

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 12 题 · 选择题

查看答案和解析
16解析几何★★★☆☆
已知 F1F_1，F2F_2 分别为椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 的左，右焦点，点 PP 在椭圆上，△POF2\triangle POF_2 是面积为 3\sqrt{3} 的正三角形，则 b2b^2 的值是______.
\begin{solution} 设椭圆的焦半距为 cc，则 F2=(c,0)F_2=(c,0). 因为 △POF2\triangle POF_2 是正三角形，其边长为 OF2=cOF_2=c，所以
34c2=3\frac{\sqrt{3}}{4}c^2=\sqrt{3}
从而 c2=4c^2=4. 正三角形的两个可能顶点为 P=(1,3)P=(1,\sqrt{3}) 和 P=(1,−3)P=(1,-\sqrt{3})，两者代入椭圆所得方程相同.
由 PP 在椭圆上，得
1a2+3b2=1\frac{1}{a^2}+\frac{3}{b^2}=1
又由椭圆参数关系 a2−b2=c2=4a^2-b^2=c^2=4，令 b2=ub^2=u，则 a2=u+4a^2=u+4，于是
1u+4+3u=1\frac{1}{u+4}+\frac{3}{u}=1
因为 u>0u>0，两边乘以 u(u+4)u(u+4)，得
u+3(u+4)=u(u+4)⟺u2=12u+3(u+4)=u(u+4)\Longleftrightarrow u^2=12
所以 u=23u=2\sqrt{3}，即 b2=23b^2=2\sqrt{3}. \end{solution}

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 16 题 · 填空题

查看答案和解析
20解析几何★★★☆☆
设 A(−c,0)A(-c,0)，B(c,0)B(c,0)（c>0c>0）为两定点，动点 PP 到 AA 点的距离与到 BB 点的距离的比为定值 aa（a>0a>0），求 PP 点的轨迹.
\begin{solution} 设动点 P(x,y)P(x,y)，则 PA=(x+c)2+y2PA=\sqrt{(x+c)^2+y^2}，PB=(x−c)2+y2PB=\sqrt{(x-c)^2+y^2} 题设给出 PA=aPBPA=aPB. 两边均为非负数，平方后得到
(x+c)2+y2=a2((x−c)2+y2)(x+c)^2+y^2=a^2\bigl((x-c)^2+y^2\bigr)
整理得
(1−a2)(x2+y2+c2)+2c(1+a2)x=0(1-a^2)(x^2+y^2+c^2)+2c(1+a^2)x=0
当 a≠1a\neq1 时，除以 1−a21-a^2，并配方得
(x−c(a2+1)a2−1)2+y2=4a2c2(a2−1)2\left(x-\frac{c(a^2+1)}{a^2-1}\right)^2+y^2 =\frac{4a^2c^2}{(a^2-1)^2}
所以轨迹是圆，圆心为
(c(a2+1)a2−1,0)\left(\frac{c(a^2+1)}{a^2-1},0\right)
半径为
2ac∣a2−1∣\frac{2ac}{|a^2-1|}
当 a=1a=1 时，等式化为 PA=PBPA=PB. 由上面的平方关系得 4cx=04cx=0，又因 c>0c>0，所以 x=0x=0. 反过来，直线 x=0x=0 上任一点到 AA，BB 的距离相等，故此时轨迹为 yy 轴. \end{solution}

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析