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03函数与初等函数★★☆☆☆
若 f(x)=x−1xf(x)=\dfrac{x-1}{x}，则方程 f(4x)=xf(4x)=x 的根是（ ）
\begin{solution} 由函数定义可知 4x≠04x\neq0，即 x≠0x\neq0. 方程化为
4x−14x=x⟺4x−1=4x2⟺4x2−4x+1=0⟺(2x−1)2=0\frac{4x-1}{4x}=x \Longleftrightarrow 4x-1=4x^2 \Longleftrightarrow 4x^2-4x+1=0 \Longleftrightarrow (2x-1)^2=0
所以 x=12x=\dfrac{1}{2}，且满足定义域条件. 故选 D. \end{solution}
A.
−2-2
B.
22
C.
−12-\dfrac{1}{2}
D.
12\dfrac{1}{2}

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04集合与逻辑基础★★☆☆☆
若集合 M={y∣y=2−x}M=\{y\mid y=2^{-x}\}，P={y∣y=x−1}P=\{y\mid y=\sqrt{x-1}\}，则 M∩P=M\cap P=（ ）
\begin{solution} 当 xx 取遍 R\mathbf{R} 时，2−x2^{-x} 取遍所有正数，所以 M={y∣y>0}M=\{y\mid y>0\}. 由于 x−1⩾0x-1\geqslant0 时 x−1\sqrt{x-1} 可以取到任意非负数，所以 P={y∣y⩾0}P=\{y\mid y\geqslant0\}. 因此
M∩P={y∣y>0}M\cap P=\{y\mid y>0\}
故选 C. \end{solution}
A.
{y∣y>1}\{y\mid y>1\}
B.
{y∣y⩾1}\{y\mid y\geqslant1\}
C.
{y∣y>0}\{y\mid y>0\}
D.
{y∣y⩾0}\{y\mid y\geqslant0\}

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=∣x∣f(x)=\lvert x\rvert 和 g(x)=x(2−x)g(x)=x(2-x) 的递增区间依次是（ ）
\begin{solution} 函数 f(x)=∣x∣f(x)=\lvert x\rvert 在 x⩾0x\geqslant0 时等于 xx，因此在 [0,+∞)[0,+\infty) 上递增；在 (−∞,0](-\infty,0] 上递减.
函数 g(x)=x(2−x)=1−(x−1)2g(x)=x(2-x)=1-(x-1)^2，当 x⩽1x\leqslant1 增大，当 x⩾1x\geqslant1 减小，所以其递增区间为 (−∞,1](-\infty,1]. 故选 C. \end{solution}
A.
(−∞,0](-\infty,0]，(−∞,1](-\infty,1]
B.
(−∞,0](-\infty,0]，[1,+∞)[1,+\infty)
C.
[0,+∞)[0,+\infty)，(−∞,1](-\infty,1]
D.
[0,+∞)[0,+\infty)，[1,+∞)[1,+\infty)

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★☆☆☆
在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白内.
年龄（岁）30303535404045455050555560606565
舒张压（水银柱/毫米）707073737575787880808383\fillinblank{}8888
\begin{solution} 收缩压一行中，相邻年龄每增加 55 岁，数值依次增加 55，所以 6060 岁对应的收缩压为 135+5=140135+5=140.
舒张压一行的相邻增量按 33，22 交替出现：7070 到 7373 增加 33，再到 7575 增加 22，依此规律，5555 岁的 8383 后应增加 22，所以 6060 岁对应的舒张压为 8585，再增加 33 得到 6565 岁的 8888. 因此两个空依次为 140140，8585. \end{solution}

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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18三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=6cos⁡4x−5cos⁡2x+1cos⁡2xf(x)=\dfrac{6\cos^4x-5\cos^2x+1}{\cos 2x}. 求 f(x)f(x) 的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.
\begin{solution} 函数有意义的条件是分母不为零，即 cos⁡2x≠0⟺2x≠π2+kπ⟺x≠π4+kπ2\cos 2x\neq0 \Longleftrightarrow 2x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi \Longleftrightarrow x\neq\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}，（k∈Zk\in\mathbf{Z}）. 所以定义域为
D={x∈R∣x≠π4+kπ2, k∈Z}D=\left\{x\in\mathbf{R}\mid x\neq\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\ k\in\mathbf{Z}\right\}
在定义域内，分子可因式分解为
6cos⁡4x−5cos⁡2x+1=(3cos⁡2x−1)(2cos⁡2x−1)6\cos^4x-5\cos^2x+1=(3\cos^2x-1)(2\cos^2x-1)
又 cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos 2x=2\cos^2x-1，因此在 DD 上
f(x)=3cos⁡2x−1f(x)=3\cos^2x-1
定义域关于原点对称，且 cos⁡2(−x)=cos⁡2x\cos^2(-x)=\cos^2x，所以 f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)，函数为偶函数.
令 t=cos⁡2xt=\cos^2x，则 0⩽t⩽10\leqslant t\leqslant1. 但 t=12t=\dfrac12 时 cos⁡2x=0\cos 2x=0，不属于定义域，因此 t≠12t\neq\dfrac12. 于是
f(x)=3t−1f(x)=3t-1
其最小值在 t=0t=0 时取得，为 −1-1，最大值在 t=1t=1 时取得，为 22；值 12\dfrac12 对应唯一的 t=12t=\dfrac12，因而不能取得. 所以值域为
[−1,12)∪(12,2]\left[-1,\frac12\right)\cup\left(\frac12,2\right]
\end{solution}

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★☆☆
某租赁公司拥有汽车 100100 辆. 当每辆车的月租金为 3000 元3000\text{ 元} 时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加 50 元50\text{ 元} 时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费 150 元150\text{ 元}，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元50\text{ 元}.
(1) 当每辆车的月租金定为 3600 元3600\text{ 元} 时，能租出多少辆车？ (2) 当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是多少？
\begin{solution} 设未租出的车辆数为 xx，则 0⩽x⩽1000\leqslant x\leqslant100，租出的车辆数为 100−x100-x，每辆车的月租金为 3000+50x 元3000+50x\text{ 元}.
\begin{enumerate} \item 当月租金为 3600 元3600\text{ 元} 时，
x=3600−300050=12x=\frac{3600-3000}{50}=12
所以租出的车辆数为 100−12=88 辆100-12=88\text{ 辆}.
\item 以元为单位，月收益为租金收入减去维护费用，因此
R(x)=(3000+50x)(100−x)−150(100−x)−50xR(x)=(3000+50x)(100-x)-150(100-x)-50x
R(x)=−50x2+2100x+285000=−50(x−21)2+307050R(x)=-50x^2+2100x+285000=-50(x-21)^2+307050
由于 xx 为车辆数，且 0⩽x⩽1000\leqslant x\leqslant100，当 x=21x=21 时收益取得最大值 307050 元307050\text{ 元}. 此时每辆车的月租金为
3000+50×21=4050 元3000+50\times21=4050\text{ 元}
因此月租金定为 4050 元4050\text{ 元} 时，月收益最大，最大月收益为 307050 元307050\text{ 元}. \end{enumerate} \end{solution}

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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