如图，在正三角形 $ABC$ 中，$D$，$E$，$F$ 分别为各边的中点，$G$，$H$，$I$，$J$ 分别为 $AF$，$AD$，$BE$，$DE$ 的中点. 将 $\triangle ABC$ 沿 $DE$，$EF$，$DF$ 折成三棱锥以后，$GH$ 与 $IJ$ 所成角的度数为（ ）

\begin{solution} 设正三角形 $ABC$ 的边长为 $s$. 因为 $D$，$E$，$F$ 是各边中点，所以 $\triangle DEF$ 以及三个角部三角形 $\triangle ADF$，$\triangle BDE$，$\triangle CEF$ 的三边长都为 $\frac{s}{2}$. 折叠后它们组成正四面体的四个面.

在面 $ADF$ 中，$G$，$H$ 分别为 $AF$，$AD$ 的中点，由三角形中位线定理，$GH\parallel DF$. 在面 $BDE$ 中，$I$，$J$ 分别为 $BE$，$DE$ 的中点，所以 $IJ\parallel BD$. 折叠后的正四面体中，$DF$ 与 $BD$ 是同一面内的两条棱，夹角为 $60^{\circ}$. 因此 $GH$ 与 $IJ$ 所成的角为 $60^{\circ}$，故选 B. \end{solution}

如图，一个底面半径为 $R$ 的圆柱形量杯中装有适量的水. 若放入一个半径为 $r$ 的实心铁球，水面高度恰好升高 $r$，则 $\dfrac{R}{r}=$______.

\begin{solution} 由题图可知实心铁球放入后完全浸没，因而排开水的体积等于球的体积，即为 $\dfrac{4}{3}\pi r^3$. 圆柱形量杯的底面积为 $\pi R^2$，水面升高 $r$ 所增加的圆柱体积为 $\pi R^2r$. 由排水体积相等，得 由于 $r>0$，约去 $\pi r$ 得 $R^2=\dfrac{4}{3}r^2$，从而 \end{solution}

如图，$ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 是正四棱柱，侧棱长为 $1$，底面边长为 $2$，$E$ 是棱 $BC$ 的中点.

(1) 求三棱锥 $D_1-DBC$ 的体积； (2) 证明 $BD_1\parallel$ 平面 $C_1DE$； (3) 求面 $C_1DE$ 与面 $CDE$ 所成二面角的正切值.

\begin{solution} 建立直角坐标系，取 $A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(2,2,0)$，$D(0,2,0)$. 并令上底面各点的竖坐标为 $1$，则 $D_1(0,2,1)$，$C_1(2,2,1)$，$E(2,1,0)$.

\begin{enumerate} \item 三角形 $DBC$ 在底面内，$BC=2$，点 $D$ 到直线 $BC$ 的距离为 $2$，所以 点 $D_1$ 到底面 $DBC$ 所在平面的距离为棱柱高 $1$，因此

\item 在平面 $C_1DE$ 内， $\overrightarrow{DC_1}=(2,0,1)$，$\overrightarrow{DE}=(2,-1,0)$. 而 $\overrightarrow{BD_1}=(-2,2,1)=\overrightarrow{DC_1}-2\overrightarrow{DE}$. 所以直线 $BD_1$ 的方向向量平行于平面 $C_1DE$. 平面 $C_1DE$ 的方程为 代入点 $B(2,0,0)$ 得 $-2\neq0$，故直线 $BD_1$ 不在该平面内. 因此 $BD_1\parallel$ 平面 $C_1DE$.

\item 平面 $C_1DE$ 的一个法向量为 $\boldsymbol{n}_1=\overrightarrow{DC_1}\times\overrightarrow{DE}=(1,2,-2)$， 平面 $CDE$ 的一个法向量为 $\boldsymbol{n}_2=\overrightarrow{DC}\times\overrightarrow{DE}=(0,0,-2)$. 设两平面所成的锐二面角为 $\theta$，则 由于 $\theta$ 为锐角，$\sin\theta=\sqrt{1-\dfrac49}=\dfrac{\sqrt5}{3}$，所以 故所求正切值为 $\dfrac{\sqrt5}{2}$. \end{enumerate} \end{solution}