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02三角函数★☆☆☆☆
设 MM 和 mm 分别表示函数 y=13cos⁡x−1y=\dfrac{1}{3}\cos x-1 的最大值和最小值，则 M+mM+m 等于（ ）
\begin{solution} 因为 −1⩽cos⁡x⩽1-1\leqslant\cos x\leqslant1，所以
−13−1⩽13cos⁡x−1⩽13−1-\dfrac{1}{3}-1\leqslant\dfrac{1}{3}\cos x-1\leqslant\dfrac{1}{3}-1
因此 M=−23M=-\dfrac{2}{3}，m=−43m=-\dfrac{4}{3}，从而 M+m=−2M+m=-2. 故选 D. \end{solution}
A.
23\dfrac{2}{3}
B.
−23-\dfrac{2}{3}
C.
−43-\dfrac{4}{3}
D.
−2-2

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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05三角函数★★★☆☆
若 AA，BB，CC 是 △ABC\triangle ABC 的三个内角，且 A<B<CA<B<C（C≠π2C\neq\dfrac{\pi}{2}），则下列结论中正确的是（ ）
\begin{solution} 由 A+B+C=πA+B+C=\pi 以及 A<B<CA<B<C，可得 A<π3A<\dfrac{\pi}{3}，C>π3C>\dfrac{\pi}{3}.
若 C<π2C<\dfrac{\pi}{2}，则正弦函数在 (0,π2)\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) 上递增，因而 sin⁡A<sin⁡C\sin A<\sin C. 若 C>π2C>\dfrac{\pi}{2}，则 A+B=π−C<π2A+B=\pi-C<\dfrac{\pi}{2}，并且 A+B>AA+B>A，所以 sin⁡C=sin⁡(A+B)>sin⁡A\sin C=\sin(A+B)>\sin A. 因此选项 C 对所有情况都成立.
余切函数和余弦函数在 (0,π)(0,\pi) 上均递减，故 A<CA<C 时有 cot⁡A>cot⁡C\cot A>\cot C 和 cos⁡A>cos⁡C\cos A>\cos C，选项 B、D 错误. 当 C>π2C>\dfrac{\pi}{2} 时，tan⁡A>0>tan⁡C\tan A>0>\tan C，选项 A 也不成立. 故选 C. \end{solution}
A.
tan⁡A<tan⁡C\tan A<\tan C
B.
cot⁡A<cot⁡C\cot A<\cot C
C.
sin⁡A<sin⁡C\sin A<\sin C
D.
cos⁡A<cos⁡C\cos A<\cos C

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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13三角函数★☆☆☆☆
函数 y=sin⁡2x+1y=\sin 2x+1 的最小正周期为______.
\begin{solution} 正弦函数 sin⁡(2x)\sin(2x) 的最小正周期为 2π2=π\dfrac{2\pi}{2}=\pi，加上常数 11 不改变周期. 因此所求最小正周期为 π\pi. \end{solution}

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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18三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=6cos⁡4x−5cos⁡2x+1cos⁡2xf(x)=\dfrac{6\cos^4x-5\cos^2x+1}{\cos 2x}. 求 f(x)f(x) 的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.
\begin{solution} 函数有意义的条件是分母不为零，即 cos⁡2x≠0⟺2x≠π2+kπ⟺x≠π4+kπ2\cos 2x\neq0 \Longleftrightarrow 2x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi \Longleftrightarrow x\neq\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}，（k∈Zk\in\mathbf{Z}）. 所以定义域为
D={x∈R∣x≠π4+kπ2, k∈Z}D=\left\{x\in\mathbf{R}\mid x\neq\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\ k\in\mathbf{Z}\right\}
在定义域内，分子可因式分解为
6cos⁡4x−5cos⁡2x+1=(3cos⁡2x−1)(2cos⁡2x−1)6\cos^4x-5\cos^2x+1=(3\cos^2x-1)(2\cos^2x-1)
又 cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos 2x=2\cos^2x-1，因此在 DD 上
f(x)=3cos⁡2x−1f(x)=3\cos^2x-1
定义域关于原点对称，且 cos⁡2(−x)=cos⁡2x\cos^2(-x)=\cos^2x，所以 f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)，函数为偶函数.
令 t=cos⁡2xt=\cos^2x，则 0⩽t⩽10\leqslant t\leqslant1. 但 t=12t=\dfrac12 时 cos⁡2x=0\cos 2x=0，不属于定义域，因此 t≠12t\neq\dfrac12. 于是
f(x)=3t−1f(x)=3t-1
其最小值在 t=0t=0 时取得，为 −1-1，最大值在 t=1t=1 时取得，为 22；值 12\dfrac12 对应唯一的 t=12t=\dfrac12，因而不能取得. 所以值域为
[−1,12)∪(12,2]\left[-1,\frac12\right)\cup\left(\frac12,2\right]
\end{solution}

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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