根据如图所示的框图，对大于 2 的整数 $N$，输出的数列的通项公式是（ ）

设函数 $f(x) = \ln (1 + x)$，$g(x) = xf'(x)$，$x \geqslant 0$，其中 $f'(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数.

(1) 令 $g_{1}(x) = g(x)$，$g_{n + 1}(x) = g(g_{n}(x))$，$n \in \mathbf{N}_{+}$，求 $g_{n}(x)$ 的表达式. (2) 若 $f(x) \geqslant \alpha g(x)$ 恒成立，求实数 $\alpha$ 的取值范围. (3) 设 $n \in \mathbf{N}_{+}$，比较 $g(1) + g(2) + \cdots + g(n)$ 与 $n - f(n)$ 的大小，并加以证明.