若直线 $y = 2x + 5$ 是曲线 $y = \mathrm{e}^x + x + a$ 的一条切线，则 $a =$______.

(1) 设函数 $f(x) = 5\cos x - \cos 5x$，求 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 的最大值； (2) 给定 $\theta \in (0,\pi)$ 和 $a \in \mathbf{R}$，证明：存在 $y \in [a - \theta, a + \theta]$，使得 $\cos y \le \cos \theta$； (3) 设 $b \in \mathbf{R}$，若存在 $\varphi \in \mathbf{R}$ 使得 $5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b$ 对 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立，求 $b$ 的最小值.