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04
5分
三角函数
★★☆☆☆
若点
(
a
,
0
)
(a,0)
(
a
,
0
)
（
a
>
0
a>0
a
>
0
）是函数
y
=
2
tan
(
x
−
π
3
)
y=2\tan\left(x-\frac{\pi}{3}\right)
y
=
2
tan
(
x
−
3
π
)
的图象的一个对称中心，则
a
a
a
的最小值为（ ）
A.
π
6
\frac{\pi}{6}
6
π
B.
π
3
\frac{\pi}{3}
3
π
C.
π
2
\frac{\pi}{2}
2
π
D.
4
π
3
\frac{4\pi}{3}
3
4
π
2025 · 全国 · 一卷 · 第 4 题 · 选择题
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11
6分
三角函数
★★★★★
已知
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
B
C
的面积为
1
4
\frac{1}{4}
4
1
，若
cos
2
A
+
cos
2
B
+
2
sin
C
=
2
\cos 2A + \cos 2B + 2\sin C = 2
cos
2
A
+
cos
2
B
+
2
sin
C
=
2
，
cos
A
cos
B
sin
C
=
1
4
\cos A \cos B \sin C = \frac{1}{4}
cos
A
cos
B
sin
C
=
4
1
，则（ ）
A.
sin
C
=
sin
2
A
+
sin
2
B
\sin C = \sin^2 A + \sin^2 B
sin
C
=
sin
2
A
+
sin
2
B
B.
A
B
=
2
AB = \sqrt{2}
A
B
=
2
C.
sin
A
+
sin
B
=
6
2
\sin A + \sin B = \frac{\sqrt{6}}{2}
sin
A
+
sin
B
=
2
6
D.
A
C
2
+
B
C
2
=
3
AC^2 + BC^2 = 3
A
C
2
+
B
C
2
=
3
2025 · 全国 · 一卷 · 第 11 题 · 多选题
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19
17分
导数及其应用
★★★★★
(1) 设函数
f
(
x
)
=
5
cos
x
−
cos
5
x
f(x) = 5\cos x - \cos 5x
f
(
x
)
=
5
cos
x
−
cos
5
x
，求
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
在
[
0
,
π
4
]
\left[0, \frac{\pi}{4}\right]
[
0
,
4
π
]
的最大值； (2) 给定
θ
∈
(
0
,
π
)
\theta \in (0,\pi)
θ
∈
(
0
,
π
)
和
a
∈
R
a \in \mathbf{R}
a
∈
R
，证明：存在
y
∈
[
a
−
θ
,
a
+
θ
]
y \in [a - \theta, a + \theta]
y
∈
[
a
−
θ
,
a
+
θ
]
，使得
cos
y
≤
cos
θ
\cos y \le \cos \theta
cos
y
≤
cos
θ
； (3) 设
b
∈
R
b \in \mathbf{R}
b
∈
R
，若存在
φ
∈
R
\varphi \in \mathbf{R}
φ
∈
R
使得
5
cos
x
−
cos
(
5
x
+
φ
)
≤
b
5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b
5
cos
x
−
cos
(
5
x
+
φ
)
≤
b
对
x
∈
R
x \in \mathbf{R}
x
∈
R
恒成立，求
b
b
b
的最小值.
2025 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题
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