已知 $F_{1}(-1,0)$，$F_{2}(1,0)$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点，过 $F_{2}$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交 $C$ 于 $A$，$B$ 两点，且 $|AB| = 3$，则 $C$ 的方程为（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 设椭圆的长半轴、短半轴分别为 $a$，$b$，焦距参数为 $c$. 由焦点坐标得 $c=1$， 且 $a^2-b^2=c^2=1$. 直线 $x=1$ 与椭圆的两个交点为 $A$，$B$， 由 $|AB|=3$ 得交点的纵坐标为 $\pm\frac{3}{2}$. 代入椭圆方程，得 结合 $a^2=b^2+1$，可得 即 $4b^2+9(b^2+1)=4b^2(b^2+1)$，整理得 $4b^4-9b^2-9=0$，即 $(4b^2+3)(b^2-3)=0$. 由于 $b>0$，所以 $b^2=3$，进而 $a^2=4$. 所以椭圆方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$. 故选 C. \end{solution}

已知抛物线 $C: y^{2} = 8x$ 与点 $M(-2, 2)$，过 $C$ 的焦点且斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，若 $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$，则 $k =$（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 由 $y^2=8x=4\cdot2x$，抛物线的焦点为 $F(2,0)$. 因为直线与抛物线交于两个不同的点，所以其斜率 $k\ne0$. 设两个交点分别对应参数 $t$，$u$，则可写为 $A(2t^2,4t)$，$B(2u^2,4u)$. 由于 $A$，$B$，$F$ 共线，直线方程为 $y=k(x-2)$，代入参数式得 $4t=2k(t^2-1)$，$4u=2k(u^2-1)$. 因而 $t$，$u$ 是方程 $kt^2-2t-k=0$ 的两根，故 $t+u=\frac{2}{k}$，$tu=-1$. 又 $\overrightarrow{MA}=(2t^2+2,4t-2)$，$\overrightarrow{MB}=(2u^2+2,4u-2)$， 由题设垂直得 利用 $tu=-1$，并令 $s=t+u$，括号内的式子化为 所以 $s=1$，即 $\frac{2}{k}=1$，解得 $k=2$. 故选 D. \end{solution}

已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a > 0$，$b > 0$）的左，右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，离心率为 3，直线 $y = 2$ 与 $C$ 的两个交点间的距离为 $\sqrt{6}$.

(1) 求 $a$，$b$； (2) 设过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左，右两支分别交于 $A$，$B$ 两点，且 $|AF_{1}| = |BF_{1}|$，证明：$|AF_{2}|$，$|AB|$，$|BF_{2}|$ 成等比数列.