已知正四棱柱 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$AA_{1} = 2AB$，则 $CD$ 与平面 $BDC_{1}$ 所成角的正弦值等于（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 设正方形底面边长为 $s=AB$，取空间直角坐标系，使 $A(0,0,0)$，$B(s,0,0)$，$C(s,s,0)$，$D(0,s,0)$，$C_1(s,s,2s)$. 则直线 $CD$ 的方向向量可取 $\boldsymbol{v}=(1,0,0)$. 平面 $BDC_1$ 内有两个不共线向量 $\overrightarrow{DB}=(1,-1,0)s$，$\overrightarrow{DC_1}=(1,0,2)s$， 故其法向量可取 设直线 $CD$ 与平面 $BDC_1$ 所成角为 $\theta$，则 故选 A. \end{solution}

已知圆 $O$ 和圆 $K$ 是球 $O$ 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 $O$ 的半径，$OK = \frac{3}{2}$，且圆 $O$ 与圆 $K$ 所在的平面所成的一个二面角为 $60^{\circ}$，则球 $O$ 的表面积等于______.

\begin{answer} $16\pi$ \end{answer}

\begin{solution} 设球 $O$ 的半径为 $R$，两圆公共弦的中点为 $H$. 公共弦长为 $R$， 所以半弦长为 $\frac{R}{2}$. 因为圆 $O$ 是大圆，其半径为 $R$，在大圆所在平面内有 圆 $K$ 所在平面到球心的距离为 $OK=\frac{3}{2}$，故圆 $K$ 的半径满足 $r_K^2=R^2-\frac{9}{4}$. 在圆 $K$ 所在平面内，半弦长为 $\frac{R}{2}$，圆半径为 $r_K$，圆心到弦的距离为 $KH$，因此 从而 $KH=\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{R^2-3}$. 两平面所成的锐二面角为 $60^{\circ}$， 在垂直于公共弦的截面内可取 $\angle OHK=60^{\circ}$. 由于公共弦在圆 $K$ 内确实存在， $KH>0$，所以 $R^2>3$. 在三角形 $OHK$ 中由余弦定理， 化简得 $R\sqrt{R^2-3}=2(R^2-3)$. 由于 $R^2>3$，可约去 $\sqrt{R^2-3}$， 得到 $R=2\sqrt{R^2-3}$，从而 $R^2=4$. 因此球的表面积为 $4\pi R^2=16\pi$. \end{solution}

如图，四棱锥 $P - ABCD$ 中，$\angle ABC = \angle BAD = 90^{\circ}$，$BC = 2AD$，$\triangle PAB$ 与 $\triangle PAD$ 都是边长为 2 的等边三角形.

(1) 证明：$PB \perp CD$； (2) 求点 $A$ 到平面 $PCD$ 的距离.