已知函数 $f(x)=\sin\omega x$，$\omega>0$.

(1) $f(x)$ 的周期是 $4\pi$，求 $\omega$，并求 $f(x)=\frac12$ 的解集； (2) 已知 $\omega=1$，$g(x)=f^2(x)+\sqrt3\,f(-x)f\!\left(\frac\pi2-x\right)$，$x\in\left[0,\frac\pi4\right]$，求 $g(x)$ 的值域.