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15解析几何★★★☆☆
已知 A(0,1)A(0,1)，B(1,2)B(1,2)，CC 在 Γ:x2−y2=1\Gamma:x^2-y^2=1（x≥1x\ge1，y≥0y\ge0） 上，则 △ABC\triangle ABC 的面积（ ）
A.
有最大值，但没有最小值
B.
没有最大值，但有最小值
C.
既有最大值，也有最小值
D.
既没有最大值，也没有最小值

2025 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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16解析几何★★★★☆
对于曲线 CC，若存在点 MM，使得对任意的点 P∈CP\in C，都存在 Q∈CQ\in C，且 ∣PM∣⋅∣QM∣=1\left|PM\right|\cdot\left|QM\right|=1，则称曲线 CC 为“自相关曲线”. 有以下结论：
① 任何椭圆都是“自相关曲线”； ② 存在双曲线是“自相关曲线”. 关于上述两个结论，说法正确的是（ ）.
A.
① 成立，② 成立
B.
① 成立，② 不成立
C.
① 不成立，② 成立
D.
① 不成立，② 不成立

2023 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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16解析几何★★★★☆
设 Ω={(x,y)∣(x−k)2+(y−k2)2=4∣k∣, k∈Z}\Omega=\{(x,y)\mid (x-k)^2+(y-k^2)^2=4|k|,\ k\in\mathbf{Z}\}，有结论：
① 存在直线 ll，使得 Ω\Omega 中不存在点在 ll 上，但存在点在 ll 两侧； ② 存在直线 ll，使得 Ω\Omega 中存在无数个点在 ll 上.
关于以上两个结论，正确的判断是（ ）
A.
\circled1\circled{1}成立，\circled2\circled{2}成立
B.
\circled1\circled{1}成立，\circled2\circled{2}不成立
C.
\circled1\circled{1}不成立，\circled2\circled{2}成立
D.
\circled1\circled{1}不成立，\circled2\circled{2}不成立

2022 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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14解析几何★★☆☆☆
已知参数方程 x=3t−4t3x=3t-4t^3，y=2t1−t2y=2t\sqrt{1-t^2}，t∈[−1,1]t\in[-1,1]，以下哪个图符合该方程（ ）
A.
B.
C.
D.

2021 · 上海 · 第 14 题 · 选择题

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14解析几何★★☆☆☆
已知直线方程 3x+4y+1=03x+4y+1=0 的一个参数方程可以是（ ）
A.
x=1+3tx=1+3t，y=−1−4ty=-1-4t（tt 为参数）
B.
x=1−4tx=1-4t，y=−1+3ty=-1+3t（tt 为参数）
C.
x=1−3tx=1-3t，y=−1+4ty=-1+4t（tt 为参数）
D.
x=1+4tx=1+4t，y=1−3ty=1-3t（tt 为参数）

2020 · 上海 · 第 14 题 · 选择题

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13解析几何★☆☆☆☆
已知直线方程 2x−y+c=02x-y+c=0 的一个方向向量 dd 可以是（ ）
A.
(2,−1)(2,-1)
B.
(2,1)(2,1)
C.
(−1,2)(-1,2)
D.
(1,2)(1,2)

2019 · 上海 · 第 13 题 · 选择题

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13解析几何★☆☆☆☆
设 PP 是椭圆 x25+y23=1\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{3}=1 上的动点，则 PP 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）
A.
222\sqrt2
B.
232\sqrt3
C.
252\sqrt5
D.
424\sqrt2

2018 · 上海 · 第 13 题 · 选择题

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13解析几何★☆☆☆☆
关于 xx，yy 的二元一次方程组
{x+5y=0,2x+3y=4\begin{cases} x+5y=0,\\ 2x+3y=4 \end{cases}
的系数行列式 DD 为（ ）
A.
∣0543∣\left|\begin{matrix}0&5\\ 4&3\end{matrix}\right|
B.
∣1024∣\left|\begin{matrix}1&0\\ 2&4\end{matrix}\right|
C.
∣1523∣\left|\begin{matrix}1&5\\ 2&3\end{matrix}\right|
D.
∣6054∣\left|\begin{matrix}6&0\\ 5&4\end{matrix}\right|

2017 · 上海 · 第 13 题 · 选择题

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16解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 C1:x236+y24=1C_1:\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{4}=1 和 C2:x2+y29=1C_2:x^2+\dfrac{y^2}{9}=1. PP 为 C1C_1 上的动点，QQ 为 C2C_2 上的动点，ww 是 OP→⋅OQ→\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ} 的最大值. 记 Ω={(P,Q)∣P 在 C1 上，Q 在 C2 上，且OP→⋅OQ→=w}\Omega=\{(P,Q)\mid P\text{ 在 }C_1\text{ 上，}Q\text{ 在 }C_2\text{ 上，且}\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=w\}，则 Ω\Omega 中元素个数为（ ）
A.
22个
B.
44个
C.
88个
D.
含有无穷个元素

2017 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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16解析几何★★☆☆☆
下列极坐标方程中，对应的曲线为下图的是（ ）
A.
ρ=6+5cos⁡θ\rho=6+5\cos\theta
B.
ρ=6+5sin⁡θ\rho=6+5\sin\theta
C.
ρ=6−5cos⁡θ\rho=6-5\cos\theta
D.
ρ=6−5sin⁡θ\rho=6-5\sin\theta

2016 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 选择题

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18解析几何★★★★☆
设 Pn(xn,yn)P_{n}(x_{n}, y_{n}) 是直线 2x−y=nn+12x - y = \frac{n}{n + 1}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）与圆 x2+y2=2x^{2} + y^{2} = 2 在第一象限的交点，则极限 lim⁡n→∞yn−1xn−1=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n} - 1}{x_{n} - 1} =（ ）
A.
−1-1
B.
−12-\frac{1}{2}
C.
1
D.
2

2015 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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18解析几何★★★★☆
设 Pn(xn,yn)P_{n}(x_{n}, y_{n}) 是直线 2x−y=nn+12x - y = \frac{n}{n + 1} （n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）与圆 x2+y2=2x^{2} + y^{2} = 2 在第一象限的交点，则极限 lim⁡n→∞yn−1xn−1=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n} - 1}{x_{n} - 1} =（ ）
A.
−1-1
B.
−12-\frac{1}{2}
C.
11
D.
22

2015 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 选择题

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17解析几何★★★☆☆
已知 P1(a1,b1)P_{1}(a_{1}, b_{1}) 与 P2(a2,b2)P_{2}(a_{2}, b_{2}) 是直线 y=kx+1y = kx + 1（kk 为常数）上两个不同的点，则关于 xx 和 yy 的方程组
{a1x+b1y=1,a2x+b2y=1\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y = 1,\\ a_{2}x + b_{2}y = 1 \end{cases}
的解的情况是（ ）
A.
无论 k,P1,P2k, P_{1}, P_{2} 如何，总是无解
B.
无论 kk，P1P_{1}，P2P_{2} 如何，总有唯一解
C.
存在 kk，P1P_{1}，P2P_{2}，使之恰有两解
D.
存在 kk，P1P_{1}，P2P_{2}，使之有无穷多解

2014 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 选择题

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18解析几何★★★☆☆
已知 P1(a1,b1)P_{1}(a_{1}, b_{1}) 与 P2(a2,b2)P_{2}(a_{2}, b_{2}) 是直线 y=kx+1y = kx + 1（kk 为常数）上两个不同的点，则关于 xx 和 yy 的方程组
{a1x+b1y=1,a2x+b2y=1\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y = 1,\\ a_{2}x + b_{2}y = 1 \end{cases}
的解的情况是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 由 PiP_i 在直线 y=kx+1y=kx+1 上，有 bi=kai+1b_i=ka_i+1（i=1i=1，22）. 方程组的系数行列式为 a1b2−a2b1=a1(ka2+1)−a2(ka1+1)=a1−a2a_1b_2-a_2b_1=a_1(ka_2+1)-a_2(ka_1+1)=a_1-a_2. 若 a1=a2a_1=a_2，则由同一直线方程可得 b1=b2b_1=b_2，与两点不同矛盾，因此 a1−a2≠0a_1-a_2\ne0. 系数行列式非零，方程组始终有唯一解，选 B. \end{solution}
A.
无论 k,P1,P2k, P_{1}, P_{2} 如何，总是无解
B.
无论 kk，P1P_{1}，P2P_{2} 如何，总有唯一解
C.
存在 kk，P1P_{1}，P2P_{2}，使之恰有两解
D.
存在 kk，P1P_{1}，P2P_{2}，使之有无穷多解

2014 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 选择题

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18解析几何★★★★☆
记椭圆 x24+ny24n+1=1\frac{x^2}{4} + \frac{ny^2}{4n + 1} = 1 围成的区域（含边界）为 Ωn\Omega_n （n=1n = 1，22，⋯\cdots），当点 (x,y)\left(x, y\right) 分别在 Ω1\Omega_1，Ω2\Omega_2，⋯\cdots 上时，x+yx + y 的最大值分别是 M1M_1，M2M_2，⋯\cdots，则 lim⁡n→∞Mn=\displaystyle\lim_{n \to \infty} M_n =（\quad）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 区域 Ωn\Omega_n 满足
x24+ny24n+1⩽1\frac{x^2}{4}+\frac{ny^2}{4n+1}\leqslant1
令 u=x2u=\frac{x}{2}，v=n4n+1yv=\sqrt{\frac{n}{4n+1}}y，则 u2+v2⩽1u^2+v^2\leqslant1，且
x+y=2u+4n+1nvx+y=2u+\sqrt{\frac{4n+1}{n}}v
由柯西不等式，
x+y⩽4+4n+1nu2+v2⩽8+1nx+y\leqslant\sqrt{4+\frac{4n+1}{n}}\sqrt{u^2+v^2} \leqslant\sqrt{8+\frac1n}
取 (u,v)(u,v) 与 (2,4n+1n)\left(2,\sqrt{\frac{4n+1}{n}}\right) 同方向且在单位圆上时可取到等号，因此
Mn=8+1nM_n=\sqrt{8+\frac1n}
所以
lim⁡n→∞Mn=8=22\lim_{n\to\infty}M_n=\sqrt8=2\sqrt2
因此选 D. \end{solution}
A.
00
B.
14\frac{1}{4}
C.
22
D.
222\sqrt{2}

2013 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 选择题

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16集合与逻辑基础★★☆☆☆
对于常数 mm，nn，“mn>0mn > 0”是“方程 mx2+ny2=1mx^{2} + ny^{2} = 1 表示的曲线是椭圆”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2012 · 上海 · 文 · 第 16 题 · 选择题

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16解析几何★☆☆☆☆
直线 ll 的参数方程是
{x=1+2t,y=2−t,\begin{cases} x = 1 + 2t,\\ y = 2 - t, \end{cases}
（t∈Rt \in \mathbf{R}），则 ll 的方向向量 d\boldsymbol{d} 可以是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 直线参数方程中 tt 的系数给出一个方向向量，因此直线 ll 的方向向量可取 d=(2,−1)\boldsymbol{d}=(2,-1). 方向向量的任意非零倍数都可以表示同一方向，而选项 C 中 (−2,1)=−(2,−1)(-2,1)=-(2,-1)，所以选 C. \end{solution}
A.
(1,2)(1,2)
B.
(2,1)(2,1)
C.
(−2,1)(-2,1)
D.
(1,−2)(1,-2)

2010 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 选择题

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18解析几何★★★★☆
过圆 C:(x−1)2+(y−1)2=1C: (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1 的圆心作直线分别交 xx，yy 正半轴于点 AA，BB，△AOB\triangle AOB 被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足 SI+SIV=SII+SIIIS_{\mathrm I} + S_{\mathrm{IV}} = S_{\mathrm{II}} + S_{\mathrm{III}}，则直线 ABAB 有（ ）
A.
00 条
B.
11 条
C.
22 条
D.
33 条

2009 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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15解析几何★★☆☆☆
已知直线 l1:(k−3)x+(4−k)y+1=0l_1: (k - 3)x + (4 - k)y + 1 = 0 与 l2:2(k−3)x−2y+3=0l_2: 2(k - 3)x - 2y + 3 = 0 平行，则 kk 的值是（ ）
A.
11 或 33
B.
11 或 55
C.
33 或 55
D.
11 或 22

2009 · 上海 · 文 · 第 15 题 · 选择题

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17解析几何★★☆☆☆
点 P(4,−2)P(4, -2) 与圆 x2+y2=4x^2 + y^2 = 4 上任一点连线的中点轨迹方程是（ ）
A.
(x−2)2+(y+1)2=1(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 1
B.
(x−2)2+(y+1)2=4(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4
C.
(x+4)2+(y−2)2=4(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 4
D.
(x+2)2+(y−1)2=1(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 1

2009 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 选择题

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15解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系中，Ω\Omega 是一个与 xx 轴的正半轴，yy 轴的正半轴分别相切于点 CC，DD 的定圆所围成区域（含边界），AA，BB，CC，DD 是该圆的四等分点. 若点 P(x,y)P(x, y)，点 P′(x′,y′)P'(x', y') 满足 x⩽x′x \leqslant x' 且 y⩾y′y \geqslant y'，则称 PP 优于 P′P'. 如果 Ω\Omega 中的点 QQ 满足：不存在 Ω\Omega 中的其它点优于 QQ，那么所有这样的点 QQ 组成的集合是劣弧（\quad）
A.
\myarcAB\myarc{AB}
B.
\myarcBC\myarc{BC}
C.
\myarcCD\myarc{CD}
D.
\myarcDA\myarc{DA}

2008 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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12解析几何★☆☆☆☆
设 PP 是椭圆 x225+y216=1\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 上的点. 若 F1F_1，F2F_2 是椭圆的两个焦点，则 ∣PF1∣+∣PF2∣\left|PF_1\right| + \left|PF_2\right| 等于（ ）
A.
44
B.
55
C.
88
D.
1010

2008 · 上海 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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13解析几何★★☆☆☆
圆 x2+y2−2x−1=0x^{2} + y^{2} - 2x - 1 = 0 关于直线 2x−y+3=02x - y + 3 = 0 对称的圆的方程是（ ）
A.
(x+3)2+(y−2)2=12(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = \frac{1}{2}
B.
(x−3)2+(y+2)2=12(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = \frac{1}{2}
C.
(x+3)2+(y−2)2=2(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 2
D.
(x−3)2+(y+2)2=2(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 2

2007 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 选择题

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16解析几何★★★☆☆
如图，平面中两条直线 l1l_{1} 和 l2l_{2} 相交于点 OO，对于平面上任意一点 MM，若 pp，qq 分别是 MM 到直线 l1l_{1} 和 l2l_{2} 的距离，则称有序非负实数对 (p,q)(p, q) 是点 MM 的“距离坐标”. 已知常数 p⩾0p \geqslant 0，q⩾0q \geqslant 0，给出下列命题：
① 若 p=q=0p = q = 0，则“距离坐标”为 (0,0)(0, 0) 的点有且仅有 1 个； ② 若 pq=0pq = 0，且 p+q≠0p + q \neq 0，则“距离坐标”为 (p,q)(p, q) 的点有且仅有 2 个； ③ 若 pq≠0pq \neq 0，则“距离坐标”为 (p,q)(p, q) 的点有且仅有 4 个.
上述命题中，正确命题的个数是（ ）
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3

2006 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 选择题

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15解析几何★★★☆☆
过抛物线 y2=4xy^{2}=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 AA，BB 两点，它们的横坐标之和等于 55，则这样的直线（ ）
A.
有且仅有一条
B.
有且仅有两条
C.
有无穷多条
D.
不存在

2005 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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