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09解析几何★★★★☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左焦点为 FF，AA 是右顶点，PP 是双曲线上一点，满足 ∣FA∣=∣FP∣|FA|=|FP|，∠FAP=30∘\angle FAP=30^\circ，则双曲线离心率为（ ）
A.
44
B.
83\frac{8}{3}
C.
85\frac{8}{5}
D.
43\frac{4}{3}

2026 · 天津 · 第 9 题 · 选择题

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15解析几何★★★★☆
在平面内，OO 为坐标原点，抛物线 y2=2xy^2=2x 上有 AA，BB，CC，DD 四个点，AA，BB，CC，DD 的纵坐标分别为 yAy_A，yBy_B，yCy_C，yDy_D，直线 ABAB 与直线 CDCD 交 xx 轴于点 PP，直线 ACAC 交 xx 轴于点 MM，直线 BDBD 交 xx 轴于点 NN，以下说法正确的有______.
① 若 PP 与抛物线焦点重合，则 yAyB=−2y_Ay_B=-2； ② yAyB=yCyDy_Ay_B=y_Cy_D； ③ ∣OM∣∣ON∣=2∣OP∣2|OM||ON|=2|OP|^2； ④ ∣yA−yC∣∣OP∣=∣yB−yD∣∣OM∣\left| y_A-y_C \right||OP|=\left| y_B-y_D \right||OM|； ⑤ S△ACPS△BDP=(∣OM∣∣ON∣)2\frac{S_{\triangle ACP}}{S_{\triangle BDP}}=\left( \frac{|OM|}{|ON|} \right)^2

2026 · 天津 · 第 15 题 · 填空题

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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 12\frac{1}{2}，椭圆被直线 x=bx=b 截得的线段长为 3\sqrt{3}.
(1) 求 CC 的标准方程； (2) 斜率为 −3-\sqrt{3} 的直线与圆 x2+y2=b2x^2+y^2=b^2 相切，且该直线交椭圆于 P(x1,y1)P(x_1,y_1)，Q(x2,y2)Q(x_2,y_2)（y1<y2y_1<y_2），AA 是椭圆的上顶点. 记直线 APAP，AQAQ 的斜率分别为 k1k_1，k2k_2，求 k1k2\frac{k_1}{k_2}.

2026 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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09解析几何★★★★☆
双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，以右焦点 F2F_2 为焦点的抛物线 y2=2pxy^2=2px（p>0p>0）与双曲线在第一象限交于 PP，若 ∣PF1∣+∣PF2∣=3∣F1F2∣|PF_1|+|PF_2|=3|F_1F_2|，则双曲线离心率 e=e=（ ）
A.
2
B.
5
C.
2+12\frac{\sqrt2+1}{2}
D.
5+12\frac{\sqrt5+1}{2}

2025 · 天津 · 第 9 题 · 选择题

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12解析几何★★★☆☆
l1:x−y+6=0l_1:x-y+6=0 与 xx 轴，yy 轴交点分别为 AA，BB，又与 (x+1)2+(y−3)2=r2(x+1)^2+(y-3)^2=r^2 交于 CC，DD，且 ∣AB∣=3∣CD∣|AB|=3|CD|，则 r=‾r=\underline{\hspace{2em}}.

2025 · 天津 · 第 12 题 · 填空题

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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 FF，右顶点为 AA，PP 为 x=ax=a 上一点，且直线 PFPF 的斜率为 13\frac13，△PFA\triangle PFA 的面积为 32\frac32，离心率为 12\frac12.
(1) 求椭圆方程； (2) 过 PP 的直线与椭圆有唯一交点 BB（异于 AA），证明 PFPF 平分 ∠AFB\angle AFB.

2025 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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08解析几何★★★★☆
双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. PP 是双曲线右支上一点，且直线 PF2PF_2 的斜率为 2. △PF1F2\triangle PF_1F_2 是面积为 8 的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A.
x22−y28=1\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{y^2}{8}=1
B.
x24−y28=1\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{8}=1
C.
x28−y22=1\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}{2}=1
D.
x28−y24=1\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}{4}=1

2024 · 天津 · 第 8 题 · 选择题

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12解析几何★★★☆☆
圆 (x−1)2+y2=25(x-1)^2+y^2=25 的圆心与抛物线 y2=2pxy^2=2px（p>0p>0）的焦点 FF 重合，且两曲线在第一象限的交点为 AA，则原点到直线 AFAF 的距离为______.

2024 · 天津 · 第 12 题 · 填空题

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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率 e=12e=\frac12. 左顶点为 AA，下顶点为 BB，CC 是线段 OBOB 的中点，其中 S△ABC=332S_{\triangle ABC}=\frac{3\sqrt3}{2}.
(1) 求椭圆方程； (2) 过点 (0,−32)\left(0,-\frac32\right) 的动直线与椭圆有两个交点 PP，QQ. 在 yy 轴上是否存在点 TT 使得 TP→⋅TQ→≤0\overrightarrow{TP}\cdot \overrightarrow{TQ}\le 0？若存在，求出这个 TT 点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.

2024 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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09解析几何★★★☆☆
双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0） 的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 过 F2F_2 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 PP. 已知 PF2=2PF_2=2，直线 PF1PF_1 的斜率为 24\dfrac{\sqrt{2}}{4}，则双曲线的方程为（ ）
A.
x28−y24=1\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}{4}=1
B.
x24−y28=1\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{8}=1
C.
x24−y22=1\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{2}=1
D.
x22−y24=1\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{y^2}{4}=1

2023 · 天津 · 第 9 题 · 选择题

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12解析几何★★★☆☆
过原点的一条直线与圆 C:(x+2)2+y2=3C:(x+2)^2+y^2=3 相切，交曲线 y2=2pxy^2=2px（p>0p>0） 于点 PP，若 ∣OP∣=8|OP|=8，则 pp 的值为______.

2023 · 天津 · 第 12 题 · 填空题

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18解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 的左，右顶点分别为 A1A_1，A2A_2，右焦点为 FF，已知 ∣A1F∣=3|A_1F|=3，∣A2F∣=1|A_2F|=1.
(1) 求椭圆方程及其离心率； (2) 已知点 PP 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 A2PA_2P 交 yy 轴于点 QQ，若三角形 A1PQA_1PQ 的面积是三角形 A2FPA_2FP 面积的二倍，求直线 A2PA_2P 的方程.

2023 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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07解析几何★★★☆☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>1b>1）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，抛物线 y2=45xy^2=4\sqrt{5}x 的准线经过 F1F_1，且与双曲线的一条渐近线交于点 AA. 若 ∠F1F2A=π4\angle F_1F_2A=\dfrac{\pi}{4}，则双曲线的方程为（ ）
A.
x216−y24=1\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{4}=1
B.
x24−y216=1\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{16}=1
C.
x24−y2=1\dfrac{x^2}{4}-y^2=1
D.
x2−y24=1x^2-\dfrac{y^2}{4}=1

2022 · 天津 · 第 7 题 · 选择题

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12解析几何★★☆☆☆
若直线 x−y+m=0x-y+m=0（m>0m>0）被圆 (x−1)2+(y−1)2=3(x-1)^2+(y-1)^2=3 截得的弦长等于 mm，则 mm 的值为______.

2022 · 天津 · 第 12 题 · 填空题

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19解析几何★★★★☆
椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的右焦点为 FF，右顶点为 AA，上顶点为 BB，且满足 ∣BF∣∣AB∣=32\dfrac{|BF|}{|AB|}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
(1) 求椭圆的离心率 ee； (2) 直线 ll 与椭圆有唯一公共点 MM，与 yy 轴相交于 NN（NN 异于 MM）. 记 OO 为坐标原点，若 ∣OM∣=∣ON∣|OM|=|ON|，且 △OMN\triangle OMN 的面积为 3\sqrt{3}，求椭圆的标准方程.

2022 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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08解析几何★★★☆☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0） 的右焦点与抛物线 y2=2pxy^2=2px（p>0p>0） 的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于 AA，BB 两点，交双曲线的渐近线于 CC，DD 两点，若 ∣CD∣=2 ∣AB∣|CD|=\sqrt2\,|AB|，则双曲线的离心率为（ ）
A.
2\sqrt2
B.
3\sqrt3
C.
22
D.
33

2021 · 天津 · 第 8 题 · 选择题

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12解析几何★★☆☆☆
若斜率为 3\sqrt3 的直线与 yy 轴交于点 AA，与圆 x2+(y−1)2=1x^2+\left( y-1 \right)^2=1 相切于点 BB，则 ∣AB∣=‾|AB|=\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 天津 · 第 12 题 · 填空题

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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 的右焦点为 FF，上顶点为 BB，离心率为 255\dfrac{2\sqrt5}{5}，且 ∣BF∣=5|BF|=\sqrt5.
(1) 求椭圆的方程； (2) 直线 ll 与椭圆有唯一的公共点 MM，与 yy 轴的正半轴交于点 NN，过 NN 与 BFBF 垂直的直线交 xx 轴于点 PP. 若 MP∥BFMP\parallel BF，求直线 ll 的方程.

2021 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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07解析几何★★☆☆☆
设双曲线 CC 的方程为 x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0），过抛物线 y2=4xy^2=4x 的焦点和点 (0,b)(0,b) 的直线为 ll. 若 CC 的一条渐近线与 ll 平行，另一条渐近线与 ll 垂直，则双曲线 CC 的方程为（ ）
A.
x24−y24=1\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{4}=1
B.
x2−y24=1x^2-\dfrac{y^2}{4}=1
C.
x24−y2=1\dfrac{x^2}{4}-y^2=1
D.
x2−y2=1x^2-y^2=1

2020 · 天津 · 第 7 题 · 选择题

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12解析几何★★☆☆☆
已知直线 x−3y+8=0x-\sqrt3 y+8=0 和圆 x2+y2=r2x^2+y^2=r^2（r>0r>0）相交于 AA，BB 两点. 若 ∣AB∣=6|AB|=6，则 r=‾r=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 天津 · 第 12 题 · 填空题

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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的一个顶点为 A(0,−3)A(0,-3)，右焦点为 FF，且 ∣OA∣=∣OF∣|OA|=|OF|，其中 OO 为原点.
(1) 求椭圆方程； (2) 已知点 CC 满足 3OC→=OF→3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OF}，点 BB 在椭圆上（BB 异于椭圆的顶点），直线 ABAB 与以 CC 为圆心的圆相切于点 PP，且 PP 为线段 ABAB 的中点. 求直线 ABAB 的方程.

2020 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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05解析几何★★★☆☆
已知抛物线 y2=4xy^2=4x 的焦点为 FF，准线为 ll，若 ll 与双曲线 x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的两条渐近线分别交于点 AA 和点 BB，且 ∣AB∣=4∣OF∣|AB|=4|OF|（OO 为原点），则双曲线的离心率为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
2\sqrt2
B.
3\sqrt3
C.
22
D.
5\sqrt5

2019 · 天津 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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12解析几何★★☆☆☆
设 a∈Ra\in \mathbf{R}，直线 ax−y+2=0ax-y+2=0 和圆
{x=2+2cos⁡θ,y=1+2sin⁡θ\begin{cases} x=2+2\cos\theta,\\ y=1+2\sin\theta \end{cases}
（θ\theta 为参数）相切，则 aa 的值为______. \begin{answer} 34\dfrac34 \end{answer}

2019 · 天津 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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18解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 FF，上顶点为 BB. 已知椭圆的短轴长为 44，离心率为 55\dfrac{\sqrt5}{5}.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设点 PP 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 MM 为直线 PBPB 与 xx 轴的交点，点 NN 在 yy 轴的负半轴上. 若 ∣ON∣=∣OF∣|ON|=|OF|（OO 为原点），且 OP⊥MNOP\perp MN，求直线 PBPB 的斜率.

2019 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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06解析几何★★★☆☆
已知抛物线 y2=4xy^2=4x 的焦点为 FF，准线为 ll. 若与双曲线 x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0） 的两条渐近线分别交于点 AA 和点 BB，且 ∣AB∣=4∣OF∣|AB|=4|OF|（OO 为原点），则双曲线的离心率为（ ）
A.
2\sqrt2
B.
3\sqrt3
C.
22
D.
5\sqrt5

2019 · 天津 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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